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Sind Raum und Zeit gequantelt?

Den Beginn der Diskussion am letzten Montag Abend hatte ich nicht mitbekommen, es war am anderen Ende des Tischs und ziemlich laut im Raum. Ich stand auf und setzte mich zu den dreien, die irgendwie auf dieses Thema gekommen waren. Ich war ein bisschen erstaunt darüber, dass man denken konnte, Raum und Zeit könnten nicht gequantelt sein, aber ich vermochte die anderen nicht von meiner Meinung zu überzeugen. Ich erinnerte an Erkenntnisse über Schwarze Löcher und die Bekenstein-Grenze, aber das reichte den anderen an diesem Abend nicht. Im Folgenden meine Überlegungen (die durchaus ungenau oder sogar falsch sein können):

Der Zweite Hauptsatz der Thermodynamik sagt aus, dass die Entropie eines abgeschlossenen Systems niemals abnehmen kann. Dabei ist die Entropie ein Maß für den Informationsgehalt. Ganz grob gesagt, wird damit gemessen, wie viele unterschiedliche Mikrozustände ein System einnehmen kann und wie wahrscheinlich diese sind. Ein Mikrozustand heißt: Eine vollständige (genauer gesagt bestmögliche) Übersicht darüber, welches Teilchen des Systems sich an sich an welchem Ort zu welcher Zeit befindet. Die Anzahl dieser unterscheidbaren Mikrozustände ist endlich, weil die Entropie endlich ist.

Was passiert mit der Entropie des Universums, das sehr viele Teilchen und einige wenige Schwarze Löcher enthält, wenn eines der freien Teilchen in ein Schwarzes Loch stürzt? Vorher hat das Teilchen sehr viele verschiedene Eigenschaften besessen, danach verraten nur noch die etwas vergrößerte Masse, die geänderte elektrische Ladung, der Impuls und der Drehimpuls des Schwarzen Lochs ein bisschen über das Teilchen. Da die Entropie des äußeren Universums sich verringert hat, weil es keine Wechselwirkungen des Teilchens mit allen anderen mehr gibt, muss sich die Entropie des Schwarzen Lochs mindestens um diesen Betrag vergrößert haben, da die Gesamtentropie des Universums ja nicht abnehmen kann. Bekenstein hat nun gezeigt, dass a) die Entropie eines Schwarzen Lochs proportional seiner Oberfläche ist und b) die Entropie eines Schwarzen Lochs die größtmögliche innerhalb des gleichen Volumens ist, da ein Schwarzes Loch immer die maximal mögliche Masse in seinem Inneren enthält.

Dieses Ergebnis ist verblüffend. Der Radius eines Schwarzen Lochs ist proportional zu seiner Masse. Die (Kugel)Oberfläche des Schwarzen Lochs ist deshalb dem Quadrat der Masse proportional. Die Entropie eines bereits großen Schwarzen Lochs steigt gigantisch an, wenn nur ein kleines Teilchen hinzukommt. Ich erinnere mich undeutlich, dass für ein mittleres Schwarzes Loch, in das ein Proton hineinfliegt, die Entropie um 10 hoch 40 Bit zunimmt. Wieso steigt die mögliche Zahl der Mikrozustände so stark? Eine mögliche Erklärung ist, dass hier sämtliche denkbaren Wechselwirkungen des Teilchens mit allen bereits vorhandenen berücksichtigt werden müssen. Ein Analogon erklärt, warum die Zahl der Wechselwirkungen quadratisch mit der Masse ansteigen muss: Wenn N Personen miteinander anstoßen, dann erklingen ihre Gläser N*(N-1)/2 mal. Für große N ist das proportional N^2.

Aber unabhängig wie stark die Entropie steigt, sie bleibt endlich. Und damit auch die Zahl der möglichen Mikrozustände in einem vorgegeben Volumen. Das Schwarze Loch markiert mit der Bekensteingrenze die absolute Obergrenze. Sehr schön ist das alles hier beschrieben:

Wenn unser Objekt eine Masse M‘ aufweist, die unter der Masse M eines schwarzen Lochs liegt, das denselben Raumbereich ausfüllt, dann muss es auch eine Entropie S‘ haben, die unter der Entropie S dieses schwarzen Lochs liegt. Ein schwarzes Loch mit Horizontfläche A ist also der Materiezustand, der im Raumbereich innerhalb dieser Oberfläche A sowohl die maximal mögliche Masse als auch die maximal mögliche Entropie umfasst. Die Entropie eines schwarzen Lochs mit Horizontfläche A bildet also eine Obergrenze für die Entropie, die sich in einem Raumbereich mit dieser Oberfläche A unterbringen lässt. Man bezeichnet diese Obergrenze als Bekenstein-Grenze. Da die Entropie zugleich ein Maß für die Information ist, die man durch Kenntnis des Mikrozustandes gewinnen könnte, bildet die Bekenstein-Grenze zugleich eine Obergrenze für die Information, die man in einem Raumbereich maximal unterbringen kann.

Es ist schon etwas merkwürdig, dass die Entropie-Obergrenze eines kugelförmigen Raumbereichs durch dessen Oberfläche gegeben ist und nicht durch sein Volumen. Wenn wir aber immer mehr Materie in diesem Raumbereich ansammeln, um immer mehr Entropie dort zu speichern, so kollabiert diese Materie irgendwann zu einem schwarzen Loch, und ab diesem Moment ist eine weitere Steigerung nur noch mit Vergrößerung des Raumbereichs möglich.

Egal wie groß die Entropie (die Information) in einem Raumgebiet wird, sie ist immer endlich. Deshalb kann man folgendes Gedankenexperiment durchführen: Man nimmt einen der möglichen Mikrozustände eines Systems, der gekennzeichnet ist durch ganz bestimmte Orte, an denen sich die Teilchen aufhalten, und ganz bestimmte Zeitpunkte, an denen seine Vorgänge stattfinden. Die Information dieses Zustands entspricht als Informationsmenge einer diesem Zustand zugeordneten Folge von Bits, von Einsen und Nullen. Wenn man jetzt ein Teilchen im Raum oder einen Vorgang in der Zeit verschiebt, dann muss diese Änderung einen gewissen Betrag überschreiten, um als neuer Zustand (also mindestens ein geändertes Bit) registriert zu werden. Eine zu kleine Änderung würde bedeuten, dass es mehr als die aufgrund der maximal möglichen Entropie zugelassenen Mikrozustände geben müsste, aber das ist ja ausgeschlossen. Und damit ist die Quantelung von Raum und Zeit bereits gezeigt, kleinere Änderungen gibt es nicht! Denn die Unterscheidbarkeit zweier Zustände ist ja kein Problem unserer Messung, sondern eine zu kleine Änderung eines Zustands in Raum und Zeit führt zu demselben ununterscheidbaren Mikrozustand. Ein neuer Mikrozustand benötigt eine Mindestgröße an Unterschieden in Raum und oder Zeit.

Die Physik mag es gern exakt und formelmäßig, und nähert sich diesem Ergebnis auf einem anderen Weg. Auf den bereits verlinkten Seiten von Jörg Resag ist das sehr schön beschrieben. Sehr vielen dürfte die Heisenbergsche Unschärferelation bekannt sein. Dort wird das Plancksche Wirkungsquantum verwendet. Auf der Seite Planck-Einheiten in der Wikipedia wird gezeigt, wie aus dem Wirkungsquantum, der Gravitationskonstanten (Schwarze Löcher!) und der Lichtgeschwindigkeit (Informationsübertragung!) eine Planck-Länge und eine Planck-Zeit berechnet werden können. Bei räumlichen Abständen kleiner als der Planck-Länge und zeitlichen Abständen kleiner der Planck-Zeit verlieren die Begriffe Zeit und Raum ihren Sinn. (Die Planck-Länge wird übrigens auch für die Berechnung der Entropie eines Schwarzen Lochs verwendet. Dazu wird die Oberfläche eines Schwarzen Lochs durch die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks geteilt, dessen Seiten genau die Planck-Länge haben.)

Kann man nun diese Quantelung des Raums und der Zeit messen? Die Planck-Länge liegt in der Größenordnung 10^-35 m, zum Vergleich dazu die Größe eines Atomkerns 10^-14 m. Der Unterschied ist etwa der zwischen 1 mm und 1000 Lichtjahren. Versuche zur Messung hat es schon gegeben: Schärfer als erlaubt – Weiterer Rückschlag für die Quantelung von Raum und Zeit.

Wie könnte die Messidee ungefähr ausgesehen haben? – Nach der Relativitätstheorie kann die Raumzeit zwar gekrümmt sein, aber sie wird durch kontinuierliche Felder beschrieben. Zwei nahe beieinander fliegende Photonen sind also denselben Bedingungen unterworfen und sollten die gleichen Veränderungen der Wellenlänge und vielleicht der Polarisation (andere Eigenschaften haben Photonen nicht) erfahren. Wird die Gravitation aber durch die Quantentheorie beschrieben, dann werden die Einsteinschen glatten Felder durch die Wechselwirkungen mit den Teilchen ersetzt, an denen die Photonen vorbeifliegen, sie kommunizieren gewissermaßen über Gravitonen und erfahren so ein jedes für sich die Körnigkeit des Raums und der Zeit. Aus einem Flug durch die glatte Raumzeit wird eine Rumpelfahrt durch die gequantelte. Jedes Photon wechselwirkt dabei mit anderen Teilchen, sodass es nach jahrmilliardenlangem Flug eine stärkere Aufspreizung der gemessenen Wellenlängen geben müsste als nach der Relativitätstheorie möglich.

Wenn diese größeren Unterschiede nicht gemessen wurden, ist entweder die Idee der Quantelung von Raum und Zeit falsch, oder es gibt einen weiteren, damit im Zusammenhang stehenden Vorgang, der nicht beachtet wurde. Dazu jetzt eine sich mir aufdrängende Frage: Wenn Raum und Zeit gequantelt sind, was ist dann mit den Raumrichtungen? Sind Richtungen kontinuierlich oder ebenfalls gequantelt? Folgende Idee: Ein Photon, das mit einem anderen Teilchen über ein Graviton wechselwirkt, ändert nicht nur seine Wellenlänge, sondern auch seine Richtung. Wenn wir das Licht eines Sterns beobachten, kommen aber alle empfangenen Photonen aus einer Richtung. Ihre Wechselwirkungen müssten ähnlicher sein als die von Photonen anderer Richtungen.

Wenn Raum und Zeit nämlich nicht gequantelt sein sollten, hätte das gravierende Konsequenzen: Planck-Länge und Planck-Zeit sind letztlich Größen, die mit der Heisenbergschen Unschärferelation, der messtechnisch erfassten Gravitationskonstanten und der ebenfalls gemessenen Lichtgeschwindigkeit zusammenhängen.

Wenigstens muss man sich im Alltag keine Sorgen machen, egal ob Raum und Zeit gequantelt sind oder nicht. Nicht einmal ein Elementarteilchen würde den Unterschied groß bemerken. Auch hierfür eine Analogie: Unser Leben verläuft quasi ebenfalls gequantelt und niemanden stört es: Wir sind 16 Stunden wach und schlafen dann (meistens tief und fest ohne Erinnerung) 8 Stunden. Ein kalendermäßig 90jähriges Leben dauert eigentlich nur bewusste 60 Jahre, 30 Jahre werden übersprungen und sind in unserer Erinnerung nicht existent. Keiner, der gut schlafen kann, fürchtet sich vor dem Schlafengehen. Nur die, die nicht schlafen können, graut es davor, also gewissermaßen die mit dem ungequantelten Leben.

Kommentare

steppenhund 09/06/2008 04:52:30 PM

Ich finde das nett, dass Du zugibst, dass Du die anderen nicht überzeugen konntest. Ich habe auch solche Diskussionen geführt und bin immer kläglich gescheitert – außer bei denen, die sowieso schon die gleiche Meinung hatten:)
Ich habe eine ähnliche Quantelung in der Mathematik immer bei den transzendenten und den „nicht-transzendenten“ Zahlen gesehen.
Das verschmurgelt sich aber bei den Reihen, wenn zB Zeta(2)=pi^2 ist.
Ich habe einen Freund, mit dem ich einmal herumphilosophiert habe, dass andere Intelligenzen vielleicht eine Mathematik kennen, wo das Besondere der transzendenten Zahlen nicht mehr besonders ist. Vielleicht Lebewesen, die von vornherein in einer komplexen Zahlenebene denken. Oder halt in einer anderen:)

Was mich mehr bedrückt, ist der Umstand, dass die meisten Leute sowieso keinen Zahlenbegriff kennen und es in Wirklichkeit vollkommen schnuppe ist, ob etwas diskret oder verschmiert ist.
Und selbst wenn jetzt die Petaflop-Mauer durchbrochen ist, gibt es Informatikstudenten, die weder etwas mit Tera noch mit Peta, Exa etc. assoziieren können geschweige denn in der anderen Richtung. Ab milli ist es aus.

Köppnick 09/07/2008 10:34:16 AM

Der Grund, dass ich niemanden überzeugen konnte, könnte auch darin liegen, dass die anderen über das Gebiet besser Bescheid wissen als ich. Bewiesen ist ja gar nichts. Und man muss immer im Hinterkopf behalten, dass Raum und Zeit Konstrukte unseres Geistes und keine Elemente der Wirklichkeit sind.

Faszinierend finde ich, dass bei Seti und ähnlichen Projekten häufig nach „mathematischen“ Dingen im Universum gesucht wird, um außerirdisches Leben zu finden. Das legt den Schluss nahe, dass auch die beteiligten Wissenschaftler davon ausgehen, dass z.B. Prim- und andere Zahlen eine unabhängige Existenz außerhalb unseres Verstandes haben, die Außeriridischen diese Zahlen auch gefunden haben und für ähnliche Zwecke wie wir benutzen.

steppenhund 09/07/2008 00:21:23 PM

Konstrukte des Geistes – da stimme ich zu.

Der Schluss, den die Wissenschaftler über Prim- und andere Zahlen in bezug auf Außerirdische anstellen, erscheint mir als absolut anmaßend und den menschlichen Geist überschätzend.

Man braucht sich doch nur vor Augen halten, wie sehr bestimmte wissenschaftliche Erkenntnisse zu einem bestimmten Zeitpunkt bekämpft wurden. Die nicht-euklidische Geometrie hat erst dann Bedeutung bekommen, als sie plötzlich in der Physik gefragt wurde.

Es könnte ja auch sein, dass wir noch ganz entscheidende Irrtümer erkennen. Es ist für mich unglaublich, wie sehr wir unsere eigene Denkfähigkeit als Maß aller Dinge ansehen, wenn wir bereits an relativ einfachen Paradoxa scheitern müssen und wir gar nicht in der Lage sind, eine widerspruchsfreie Axiomatik zu konstruieren (oder zu finden).

Allerdings habe ich da auch schon aufgehört zu diskutieren.

Köppnick 09/08/2008 10:39:02 AM

Das ist nicht anmaßend, sondern einigermaßen logisch: Wir können nur nach dem suchen, was wir selbst verstehen. Und wenn nach künstlichen Radioquellen gesucht wird, dann muss man zwei Einschränkungen in Kauf nehmen: Auf welchen Frequenzen sucht man, nach welchen Inhalten sucht man? Wir gehen einfach davon aus, dass man zur Konstruktion von Geräten, die elektromagnetische Wellen emittieren, mathematisches Wissen benötigt, Zahlen bilden dafür eine Grundlage. Regelmäßige mathematische Inhalte kann man eindeutig von Rauschen unterscheiden. Auch die Wahl der Wellenlänge ist so dumm nicht: 21 cm. Wasserstoff ist das häufigste Element im Universum, und die Wellenlänge liegt für Wesen, die in etwa unsere Größe haben, im Bereich des technisch Machbaren. Die Frage lautet doch: Auf welche Gesetzmäßigkeiten können sie genauso wie wir gekommen sein? Und außerdem sind für uns nur Wesen interessant, die in etwa auf unserem technischen Niveau sind und auf derselben Skala bzgl. Raum und Zeit existieren. Wesen, die völlig anders als wir sind (größer, kleiner, schneller, langsamer, dümmer, intelligenter), werden wir in ihrem Wirken nicht von Rauschen unterscheiden können.

Feinfinger 09/08/2008 08:38:47 PM

Möglicherweise sind Raum und Zeit doch keine Konstruktionen des Geistes, sondern (ähnlich wie Kant es meinte) elementare Formen der Anschauung. Raum und Zeit sind einfach die Eigenschaften, die man erhält, wenn man die mesoskopische Welt entlang ihrer Dimensionalität codiert. – Ok, das ist blöd ausgedrückt. Was ich meine: wenn man einen guten Lern-/Wahrnehmungsalgorithmus baut oder züchtet, und diesen dann mit den Kamerabildern einer Fahrt durch die Welt füttert, dann lassen sich diese Bilder am besten in drei Raum-Dimensionen und einer Zeitdimension komprimieren. Die Raumdimensionen ergeben sich aus den Transitionen, die man vornehmen muß, um das veränderte Aussehen der Welt bei einer Bewegung entlang der verfügbaren Achsen vorherzusagen. Die Zeitdimension ergibt sich durch die Veränderungen in der Folge der eintreffenden Bilder (Trajektorien und Veränderungen der Objekte, Transitionen des Betrachters).

Das hat natürlich nichts mit der Planckschen Länge zu tun. Zum Konzept, dass die Entropie eines schwarzen Lochs durch die Oberfläche begrenzt wird, gab es einen hübschen Artikel im Spektrum der Wissenschaften. Das Fazit ist, dass die in einem gegebenen Raumvolumen codierte Information nur mesoskopisch (also im mittleren Bereich) in der dritten Dimension skaliert, aber letztlich zweidimensional begrenzt ist. Das hieße, dass sich das Universum verlustlos auf zwei Raumdimensionen skalieren läßt. Die Anzahl Bits, die sich in einem Raumwürfel speichern lassen, sind nicht proportional zum Kubik der Kantenlänge, sondern bloß proportional zur Grundfläche. (Davon kann sich unser oben genannter Wahrnehmungsalgorithmus natürlich in der Praxis nichts kaufen, weil der Proportionsfaktor extrem groß ist.)

Seitdem habe ich irgendwo anders leider gelesen, dass es nix macht, wenn aus dem äußeren Universum Entropie ins Schwarze Loch abfließt. Erstens kann man die Hauptsätze der Thermodynamik nicht beweisen (wenn das Schwarze Loch widerrechtlich Ordnung schafft, dann verhafte es doch!). Zweitens strahlt das Schwarze Loch die gespeicherte/geborgte Entropie ja irgendwann mal wieder ab; mindestens durch Quanteneffekte ist gewährleistet, dass immer mal wieder was aus dem Ereignishorizont herübertunnelt, bis das schöne schwarze Loch dann irgendwann mal verdampft. Der Ereignishorizont ist also gar nicht absolut, und deshalb ist die Theorie des 2D-Universums trotz ihrer verblüffenden Schönheit vielleicht gar nicht haltbar.

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  1. hauhau
    27. Juni 2018, 10:42 | #1

    warum wird dauernd über die zeit philosophiert/gerechnet, bevor kausale aussagen über die zeit stimmen, sollete erstmal die zeit al naturkonstante und exist. teilchen nachgedacht werden und genau bevor dies gemacht wir, wird die zeit eine krücke für unseren verstand betrachtet…

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