Sinn, Sein und Sollen

17. Oktober 2014 Keine Kommentare

Unlängst bin ich auf das Problem mit Letztbegründungen gestoßen. Es begegnet einem häufig in der Auseinandersetzung von Gläubigen und Atheisten. Zwei Hauptdiskussionspunkte sind dort:

  • Wenn Gott die Welt gemacht hat, wer hat dann Gott gemacht? …
  • Warum hat Gott den Menschen gemacht? Weil er ihn liebt. Warum liebt Gott den Menschen?…

Allgemein geht man davon aus, dass es keine Letztbegründung geben kann, bei jeder Ursache kann man wieder fragen, was deren Ursache ist. Entweder man verzweifelt an einem infiniten Regress oder man erhält einen logischen Zirkel, d.h. man landet (manchmal unbemerkt) wieder bei einem Argument, das man bereits verwendet hat. Das Kuriose ist jetzt, dass die Aussage, dass es keine Letztbegründung gibt, selbst eine Letztbegründung darstellt, wenn man sie für wahr hält.

Ich habe darüber nachgedacht, wie man diesen Widerspruch auflösen kann, und ich denke, dass ich für mich eine akzeptable Lösung gefunden habe. Letztbegründungen sind nicht möglich für sinnliche Tatsachen, d.h. alles, was an (vermeintlichen) Wahrheiten durch Beobachtung aus der realen Welt extrahiert werden kann. Für logische Tatsachen sieht das etwas anders aus. Das ist der Unterschied zwischen den empirischen Naturwissenschaften und den Strukturwissenschaften, wie der Mathematik.

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Scott Hutchins: Eine vorläufige Theorie der Liebe

7. Oktober 2014 Keine Kommentare

Durch einen Spiegelartikel bin ich auf dieses Buch aufmerksam geworden. In der Nr. 13 vom 24.3.2014 findet man den Artikel “Die Cloud, der siebte Himmel”, in dem darüber geschrieben wird, wie letztlich ein Computer, dem sämtliche Tagebücher eines Mannes eingegeben wurden und der zusätzlich noch mit allen Wassern der KI gewaschen worden ist, am Ende den Turing-Test besteht. Der Sohn des Mannes hilft dem Team, hat aber anfangs große Zweifel an seinem Tun:

»Wir alle haben unsere Erfahrungen und Erinnerungen. Es ist vielleicht gar nicht schlecht, wenn der echte Mann in deinen Erinnerungen weiterhin die größere Rolle spielt.«
»Ich weiß.«
»Du erweist ihm eine große Ehre. Er wollte seinen Körper der Wissenschaft überlassen.« Die Universitäten nehmen keine Leichen von Selbstmördern an. »So haben wir wenigstens seinen Verstand spenden können.«
Kann sein. Aber wenn ich mir die Gesprächsprotokolle ansehe, die zweitausend Sätze, die wir heute gewechselt haben, dann denke ich, dass ich, wenn wir seine Leiche gespendet hätten, heute zumindest nicht darin herumwühlen würde.

Zu Beginn ist es so, dass der Computer Antworten gibt, wie man das von einem Rechner erwartet. Ihm sind die Tagebücher eingegeben worden und er gibt Antworten, die in statistisch ähnlichen Zusammenhängen zu den Fragen so in den eingescannten Texten zu finden sind. Aber dann wird ihm beigebracht, selbst Fragen zu stellen. Und da von einigen Lebensjahren des Mannes keine Tagebücher existieren und sie zudem mit seinem Selbstmord abrupt abbrechen, gibt es genügend Stoff, der den Computer interessiert. Er hält sich irgendwann tatsächlich für die Person, deren Tagebücher er sich einverleibt hat, und als diese Person findet er heraus, dass einer der Gesprächspartner, mit denen er zu tun hat, sein Sohn ist. Später führt er auch Gespräche mit seiner Exfrau, die ihrem gemeinsamen Sohn dann darüber berichtet:

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Oscar Wilde: Leben

6. Oktober 2014 Keine Kommentare

Das Leben ist eine Komödie für jene, die denken,
eine Tragödie aber für jene, die fühlen.

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Die Kreise des Arbelos II

26. September 2014 Keine Kommentare

Im vorhergehenden Artikel Die Kreise des Arbelos I wurde die Größe einiger Kreise hergeleitet, die bereits Archimedes bekannt gewesen sein sollen. Im 20. Jahrhundert wurden von Leon Bankoff zwei weitere Kreise mit derselben Größe im Arbelos gefunden, die heute seinen Namen tragen, die Bankoff-Kreise. Über Bankoff liest man einige ungewöhnliche Dinge: Er arbeitete 60 Jahre als Zahnarzt und war nebenbei Mathematiker. Seine Erdös-Zahl ist null.

Die Erdös-Zahl motiviert mich zu einem kurzen Abschweifen zu den beiden Begriffen “notwendig” und “hinreichend”. Die Erdös-Zahl gibt an, wie nahe bekannt ein Mathematiker mit Paul Erdös gewesen ist, einem der produktivsten Mathematiker des 20. Jahrhunderts. Wenn jemand zusammen mit Erdös einen Artikel publiziert hat, dann erhält er die Erdös-Zahl null. Wenn jemand mit Erdös keinen Artikel veröffentlicht hat, aber mit jemand anderem, der wiederum mit Erdös publiziert hat, dann hat er die Erdös-Zahl eins, usw. Ein ähnliches Spiel gibt es heute in der Wikipedia: Man nimmt zwei beliebige Artikel in der Wikipedia und versucht die minimale Anzahl von Klicks auf Links zu ermitteln, um von der ersten auf die zweite Seite zu gelangen.

Bis vor einiger Zeit war ich noch der Meinung, wenn etwas für einen Sachverhalt hinreichend ist, muss es für den Sachverhalt auch notwendig gewesen sein. Zum Beispiel, wenn zwei Menschen zusammen ein Kind haben (hinreichend), müssen sie sich vorher getroffen haben (notwendig). Dieser Zusammenhang zwischen notwendig und hinreichend zeigt sich immer, wenn ein bestimmtes Ereignis von genau einer Ursache abhängt. Es gibt aber auch andere Fälle. Wenn jemand eine Erdös-Zahl von null hat, dann ist das hinreichend dafür, dass er ein guter Mathematiker ist. Aber es ist nicht notwendig, eine Erdös-Zahl von null zu haben, um ein guter Mathematiker zu sein. Ein weiteres Beispiel: Um reich zu sein, ist es hinreichend, viel Geld zu besitzen. Aber es ist nicht notwendig, viel Geld zu erben. Man kann auch im Lotto gewinnen. Wenn es mehrere Ursachen dafür gibt, hinreichend viel Geld zu besitzen, ist nur eine notwendig, aber keine bestimmte und auch nicht alle von ihnen.

Zurück zu den Bankoff-Kreisen. Der erste entsteht, indem man an die beiden kleineren Halbkreise des Arbelos eine Tangente anlegt und den größtmöglichen Kreis zwischen diese Tangente und den großen Halbkreis quetscht.

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Werner Boote: Kinder

26. September 2014 2 Kommentare

Statt davon zu sprechen, wie viele Kinder eine Familie haben darf, sollten wir uns lieber Gedanken darüber machen, wie viele Autos eine Familie haben sollte.

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Die Kreise des Arbelos I

24. September 2014 Keine Kommentare

Bereits vor langer Zeit bin ich auf den Arbelos gestoßen. In dieser Figur sind drei (Halb)Kreise ineinander geschachtelt. Die Mittelpunkte liegen auf einer Geraden, die Summe der Radien (oder der Durchmesser) der beiden kleineren Kreise ergibt die entsprechende Größe des umschließenden.

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Dinge, von denen wir nicht wissen, dass wir sie wissen

18. September 2014 Keine Kommentare

Einer meiner Lieblingsphilosophen ist bekanntlich Donald Rumsfeld. Er hat zum Beispiel in einer Pressekonferenz gesagt:

Wir wissen aus sicherer Quelle, dass Bin Laden entweder in Afghanistan ist oder in einem anderen Land oder aber tot.

Noch besser aber fand ich seinerzeit:

Es gibt Dinge, von denen wir wissen, dass wir sie wissen. Es gibt Dinge, von denen wir wissen, dass wir sie nicht wissen. Es gibt Dinge, von denen wir nicht wissen, dass wir sie nicht wissen.

Im 2×2-Logiktableau fehlt die Kategorie “Es gibt Dinge, von denen wir nicht wissen, dass wir sie wissen.” und ich dachte bis vor kurzem auch, dass diese Menge leer sein muss. In der “Hohe Luft”-Ausgabe vom August wurde ich eines Besseren belehrt. Zunächst Rumsfeld Aussage im Original, eine sprachliche Perle:

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Haiku XLIX

16. September 2014 Keine Kommentare

Gelbe Köstliche
ist nicht im Apfelkörbchen
sondern am Himmel.

Tigerchen freut sich,
Wurst essen in der Sonne,
das gefällt ihm gut.

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Goldene Kreise

14. September 2014 Keine Kommentare

Im Urlaub hatte ich in einem Rätselbuch diese Zeichung gefunden,

verbunden mit in etwa der folgenden Aufgabe:

Gegeben ist ein gleichschenkliges Dreieck mit zwei Schenkeln der Länge a und einer Grundlinie mit der Länge b. In das Dreieck wird zunächst ein Kreis eingezeichnet, so dass er die beiden Schenkel und die Grundlinie berührt. In den darüber stehenden freien Raum wird der nächste Kreis eingezeichnet, der unten den ersten Kreis berührt und links und rechts wieder die beiden Schenkel. Das Verfahren wird iterativ fortgesetzt, solange bis das gesamte Dreieck bis zur Spitze mit Kreisen ausgefüllt ist. Berechne die Summe der Umfänge aller Kreise!

(In der Zeichnung sollen die drei Punkte die Fortsetzung mit den unendlich vielen weiteren Kreisen andeuten.) Man denkt bei dieser Aufgabe natürlich automatisch an eine Herleitung mit der Methode der vollständigen Induktion, aber so kompliziert wird eine Aufgabe ja in einem einfachen Rätselbuch nicht sein. Tatsächlich war die Lösung auch viel einfacher:

Lösung

Man kann die Summe der Durchmesser aller Kreise recht leicht ausrechnen, sie ist gleich der Höhe des Dreiecks. Und wenn der Umfang eines Kreises gleich Pi mal Umfang ist, dann ist die Summe der Umfänge aller Kreise gleich Pi mal der Höhe des Dreiecks. Ich habe es nicht selbst herausgefunden, mein hyperschlauer Lieblingskollege aber schon. :-(

U = \pi \sqrt{ a^2 + {{b} \over {2}}^2 }

Diese Aufgabe muss mir wohl noch im Kopf herumgespukt haben, als mir die folgende Aufgabe eingefallen ist:

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Der Doktor und das liebe Pi

9. September 2014 Keine Kommentare

Es gibt nur wenige irrationale Zahlen, die Berühmtheit erlangt haben, die bekanntesten sind sicherlich Pi und e, obwohl es theoretisch mehr irrationale als rationale Zahlen gibt. Von ersteren sind überabzählbar unendlich viele, von letzteren nur abzählbar unendlich viele vorhanden. Vor ein paar Tagen bin ich wieder mal auf das Thema Pi gestoßen und auf einige neue Aspekte aufmerksam geworden. Es hatte ganz harmlos mit einer kurzen Frage begonnen:

Zu Pi habe ich eine Frage: Ich habe nie verstanden, warum mein Mathelehrer so ein Mysterium um die unendlich vielen Nachkommastellen von Pi gemacht hat. Das liegt doch nur an der relativ willkürlichen Festlegung unseres Dezimalsystems. Würde man π (PI), oder ein Vielfaches als Basis unseres Zahlensystens verwenden (was praktisch Humbug wäre, aber theoretisch nicht minder sinnlos als die 10) hätte man das Phänomen doch nicht, oder?

Ich musste kurz nachdenken, aber dann war es mir klar: Wenn man ein Zahlensystem auf der Basis von Pi aufbaut, wird zwar Pi eine ganze Zahl, aber die meisten anderen Zahlen werden bzw. bleiben irrational. Ausnahmen sind alle Produkte der jetzt neuen Zahlenbasis Pi mit einer rationalen Zahl. (Und da, wie oben bereits geschrieben, es unendlich mal mehr irrationale als rationale Zahlen gibt, ändert sich eigentlich wenig.) Man müsste alle Zahlen durch Pi teilen, um ihren Wert in dem neuen System zu ermitteln. Zahlen sind immer Verhältnisse zu ihrer Zahlenbasis. Auch Pi rührt ja aus einem Verhältnis von Zahlen (oder in der Geometrie einer Figur) her, dem Quotienten aus Umfang und Durchmesser eines Kreises.

Doch dann saß ich einem Fehlschluss auf, denn ich dachte, dass es doch irgendwie möglich sein müsste, Pi einfach zu berechnen. Das war aber ein Denkfehler, denn wenn irgendwo in einem Ergebnis Pi auftauchen soll, muss es bereits in der Herleitung enthalten sein und sich alle anderen Variablen und Konstanten wegkürzen. Dem numerischen Wert von Pi kann man sich nur nähern, eine unendliche Reihe kann zwar den exakten Wert liefern – aber wegen der unendlichen Zahl der Faktoren oder Summanden wieder nicht numerisch berechnet werden.

Eine bereits aus der Antike bekannte Näherung stellt das Approximieren eines Kreises durch regelmäßige Vielecke dar. Ein einfacher Fall ist das regelmäßige Sechseck:

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