Die Kreise des Arbelos II

26. September 2014 Keine Kommentare

Im vorhergehenden Artikel Die Kreise des Arbelos I wurde die Größe einiger Kreise hergeleitet, die bereits Archimedes bekannt gewesen sein sollen. Im 20. Jahrhundert wurden von Leon Bankoff zwei weitere Kreise mit derselben Größe im Arbelos gefunden, die heute seinen Namen tragen, die Bankoff-Kreise. Über Bankoff liest man einige ungewöhnliche Dinge: Er arbeitete 60 Jahre als Zahnarzt und war nebenbei Mathematiker. Seine Erdös-Zahl ist null.

Die Erdös-Zahl motiviert mich zu einem kurzen Abschweifen zu den beiden Begriffen “notwendig” und “hinreichend”. Die Erdös-Zahl gibt an, wie nahe bekannt ein Mathematiker mit Paul Erdös gewesen ist, einem der produktivsten Mathematiker des 20. Jahrhunderts. Wenn jemand zusammen mit Erdös einen Artikel publiziert hat, dann erhält er die Erdös-Zahl null. Wenn jemand mit Erdös keinen Artikel veröffentlicht hat, aber mit jemand anderem, der wiederum mit Erdös publiziert hat, dann hat er die Erdös-Zahl eins, usw. Ein ähnliches Spiel gibt es heute in der Wikipedia: Man nimmt zwei beliebige Artikel in der Wikipedia und versucht die minimale Anzahl von Klicks auf Links zu ermitteln, um von der ersten auf die zweite Seite zu gelangen.

Bis vor einiger Zeit war ich noch der Meinung, wenn etwas für einen Sachverhalt hinreichend ist, muss es für den Sachverhalt auch notwendig gewesen sein. Zum Beispiel, wenn zwei Menschen zusammen ein Kind haben (hinreichend), müssen sie sich vorher getroffen haben (notwendig). Dieser Zusammenhang zwischen notwendig und hinreichend zeigt sich immer, wenn ein bestimmtes Ereignis von genau einer Ursache abhängt. Es gibt aber auch andere Fälle. Wenn jemand eine Erdös-Zahl von null hat, dann ist das hinreichend dafür, dass er ein guter Mathematiker ist. Aber es ist nicht notwendig, eine Erdös-Zahl von null zu haben, um ein guter Mathematiker zu sein. Ein weiteres Beispiel: Um reich zu sein, ist es hinreichend, viel Geld zu besitzen. Aber es ist nicht notwendig, viel Geld zu erben. Man kann auch im Lotto gewinnen. Wenn es mehrere Ursachen dafür gibt, hinreichend viel Geld zu besitzen, ist nur eine notwendig, aber keine bestimmte und auch nicht alle von ihnen.

Zurück zu den Bankoff-Kreisen. Der erste entsteht, indem man an die beiden kleineren Halbkreise des Arbelos eine Tangente anlegt und den größtmöglichen Kreis zwischen diese Tangente und den großen Halbkreis quetscht.

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Werner Boote: Kinder

26. September 2014 2 Kommentare

Statt davon zu sprechen, wie viele Kinder eine Familie haben darf, sollten wir uns lieber Gedanken darüber machen, wie viele Autos eine Familie haben sollte.

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Die Kreise des Arbelos I

24. September 2014 Keine Kommentare

Bereits vor langer Zeit bin ich auf den Arbelos gestoßen. In dieser Figur sind drei (Halb)Kreise ineinander geschachtelt. Die Mittelpunkte liegen auf einer Geraden, die Summe der Radien (oder der Durchmesser) der beiden kleineren Kreise ergibt die entsprechende Größe des umschließenden.

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Dinge, von denen wir nicht wissen, dass wir sie wissen

18. September 2014 Keine Kommentare

Einer meiner Lieblingsphilosophen ist bekanntlich Donald Rumsfeld. Er hat zum Beispiel in einer Pressekonferenz gesagt:

Wir wissen aus sicherer Quelle, dass Bin Laden entweder in Afghanistan ist oder in einem anderen Land oder aber tot.

Noch besser aber fand ich seinerzeit:

Es gibt Dinge, von denen wir wissen, dass wir sie wissen. Es gibt Dinge, von denen wir wissen, dass wir sie nicht wissen. Es gibt Dinge, von denen wir nicht wissen, dass wir sie nicht wissen.

Im 2×2-Logiktableau fehlt die Kategorie “Es gibt Dinge, von denen wir nicht wissen, dass wir sie wissen.” und ich dachte bis vor kurzem auch, dass diese Menge leer sein muss. In der “Hohe Luft”-Ausgabe vom August wurde ich eines Besseren belehrt. Zunächst Rumsfeld Aussage im Original, eine sprachliche Perle:

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Haiku XLIX

16. September 2014 Keine Kommentare

Gelbe Köstliche
ist nicht im Apfelkörbchen
sondern am Himmel.

Tigerchen freut sich,
Wurst essen in der Sonne,
das gefällt ihm gut.

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Goldene Kreise

14. September 2014 Keine Kommentare

Im Urlaub hatte ich in einem Rätselbuch diese Zeichung gefunden,

verbunden mit in etwa der folgenden Aufgabe:

Gegeben ist ein gleichschenkliges Dreieck mit zwei Schenkeln der Länge a und einer Grundlinie mit der Länge b. In das Dreieck wird zunächst ein Kreis eingezeichnet, so dass er die beiden Schenkel und die Grundlinie berührt. In den darüber stehenden freien Raum wird der nächste Kreis eingezeichnet, der unten den ersten Kreis berührt und links und rechts wieder die beiden Schenkel. Das Verfahren wird iterativ fortgesetzt, solange bis das gesamte Dreieck bis zur Spitze mit Kreisen ausgefüllt ist. Berechne die Summe der Umfänge aller Kreise!

(In der Zeichnung sollen die drei Punkte die Fortsetzung mit den unendlich vielen weiteren Kreisen andeuten.) Man denkt bei dieser Aufgabe natürlich automatisch an eine Herleitung mit der Methode der vollständigen Induktion, aber so kompliziert wird eine Aufgabe ja in einem einfachen Rätselbuch nicht sein. Tatsächlich war die Lösung auch viel einfacher:

Lösung

Man kann die Summe der Durchmesser aller Kreise recht leicht ausrechnen, sie ist gleich der Höhe des Dreiecks. Und wenn der Umfang eines Kreises gleich Pi mal Umfang ist, dann ist die Summe der Umfänge aller Kreise gleich Pi mal der Höhe des Dreiecks. Ich habe es nicht selbst herausgefunden, mein hyperschlauer Lieblingskollege aber schon. :-(

U = \pi \sqrt{ a^2 + {{b} \over {2}}^2 }

Diese Aufgabe muss mir wohl noch im Kopf herumgespukt haben, als mir die folgende Aufgabe eingefallen ist:

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Der Doktor und das liebe Pi

9. September 2014 Keine Kommentare

Es gibt nur wenige irrationale Zahlen, die Berühmtheit erlangt haben, die bekanntesten sind sicherlich Pi und e, obwohl es theoretisch mehr irrationale als rationale Zahlen gibt. Von ersteren sind überabzählbar unendlich viele, von letzteren nur abzählbar unendlich viele vorhanden. Vor ein paar Tagen bin ich wieder mal auf das Thema Pi gestoßen und auf einige neue Aspekte aufmerksam geworden. Es hatte ganz harmlos mit einer kurzen Frage begonnen:

Zu Pi habe ich eine Frage: Ich habe nie verstanden, warum mein Mathelehrer so ein Mysterium um die unendlich vielen Nachkommastellen von Pi gemacht hat. Das liegt doch nur an der relativ willkürlichen Festlegung unseres Dezimalsystems. Würde man π (PI), oder ein Vielfaches als Basis unseres Zahlensystens verwenden (was praktisch Humbug wäre, aber theoretisch nicht minder sinnlos als die 10) hätte man das Phänomen doch nicht, oder?

Ich musste kurz nachdenken, aber dann war es mir klar: Wenn man ein Zahlensystem auf der Basis von Pi aufbaut, wird zwar Pi eine ganze Zahl, aber die meisten anderen Zahlen werden bzw. bleiben irrational. Ausnahmen sind alle Produkte der jetzt neuen Zahlenbasis Pi mit einer rationalen Zahl. (Und da, wie oben bereits geschrieben, es unendlich mal mehr irrationale als rationale Zahlen gibt, ändert sich eigentlich wenig.) Man müsste alle Zahlen durch Pi teilen, um ihren Wert in dem neuen System zu ermitteln. Zahlen sind immer Verhältnisse zu ihrer Zahlenbasis. Auch Pi rührt ja aus einem Verhältnis von Zahlen (oder in der Geometrie einer Figur) her, dem Quotienten aus Umfang und Durchmesser eines Kreises.

Doch dann saß ich einem Fehlschluss auf, denn ich dachte, dass es doch irgendwie möglich sein müsste, Pi einfach zu berechnen. Das war aber ein Denkfehler, denn wenn irgendwo in einem Ergebnis Pi auftauchen soll, muss es bereits in der Herleitung enthalten sein und sich alle anderen Variablen und Konstanten wegkürzen. Dem numerischen Wert von Pi kann man sich nur nähern, eine unendliche Reihe kann zwar den exakten Wert liefern – aber wegen der unendlichen Zahl der Faktoren oder Summanden wieder nicht numerisch berechnet werden.

Eine bereits aus der Antike bekannte Näherung stellt das Approximieren eines Kreises durch regelmäßige Vielecke dar. Ein einfacher Fall ist das regelmäßige Sechseck:

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Racetrack-Playa-Rätsel gelöst

2. September 2014 Keine Kommentare

Vor inzwischen schon sieben Jahren bin ich auf das Rätsel der wandernden Steine gestoßen: Keine Kornkreise zu sehen!

Ich habe versucht mich zu erinnern, was ich seinerzeit gedacht habe. Wenn ich damals bereits gewusst hätte, dass dort ab und zu starke Überschwemmungen sind und es auch mal ordentlich gefriert, wäre es sicherlich für mich weniger mysteriös gewesen. Jetzt scheint das Rätsel gelöst geworden zu sein, wie ich zuerst im Spiegel gelesen habe: Forscher lösen Rätsel der wandernden Steine.

Das Video ist wirklich sehenswert und vermittelt einen kleinen Eindruck von dem Aufwand, mit dem man das Rätsel jetzt endlich geknackt hat:

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Timeshift

27. August 2014 Keine Kommentare

Schon seit Wochen waren wir mit unserem Team in diesem Teil des Dschungels. Wir wollten seltene Zwergäffchen in ihrem natürlichen Lebensraum beobachten. Manfred lief vor mir, um den Weg mit der Machete freizuschlagen, als es über ihm raschelte. Ich sah die grüne Boomslang zuerst und rief ihm zu: “Nicht bewegen, da ist eine Schlange neben dir im Gebüsch!” Manfred erstarrte auf der Stelle, die Hand mit der Machete erhoben. Die Schlange kroch langsam weiter durch die Blätter, vielleicht einen halben Meter von seinem Kopf entfernt. Ich sah wie Manfreds Arm zitterte. Wenn man die Machete so halten muss, wird sie allmählich höllisch schwer.

Plötzlich knackte ganz in der Nähe ein Zweig, wahrscheinlich war ein kleineres Tier, das wir nicht sehen konnten, unmittelbar neben dem Weg im Unterholz unterwegs. Manfred erschrak und konnte seinen Arm nicht mehr ruhig halten. Ob die Schlange das Geräusch ebenfalls gehört hatte, weiß ich nicht, aber Manfreds Bewegung war ihr jedenfalls nicht entgangen. Sie fuhr herum und biss in den erhobenen Arm, mit dem Manfred die Machete hielt. Mit einem Schreckenschrei schüttelte Manfred die Schlange ab, sie fiel zischend auf den Boden und drehte sich augenblicklich um. Doch Manfred war schneller als sie, mit der Machete hieb er auf sie ein. Nachdem er sie in Stücke gehackt hatte, lies er die Machete fallen und sah auf seinen Arm. “Scheiße!”

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Akif Pirinçci: Die Damalstür

26. August 2014 Keine Kommentare

Im Frühjahr hatte ich den Film Die Tür gesehen und mir danach das Buch von Akif Pirinçci, das die Vorlage für diesen Film gewesen ist, Die Damalstür, besorgt. Das zentrale Ereignis im Film ist, dass der gescheiterte Maler David Andernach, der einige Zeit vorher schuldig am Tod seiner Tochter geworden ist, durch eine Tür in die Vergangenheit gelangt und dort den Tod seiner Tochter verhindern kann. Als er dort seinem jüngeren Selbst begegnet, bringt er dieses um. In der Wikipedia wird der Inhalt so beschrieben:

… findet er Leonie ertrunken im Swimmingpool auf.

Fünf Jahre später, … findet er einen Schmetterling, dem er in einen ihm unbekannten Gang folgt. David öffnet die Holztür am Ende des Gangs und findet sich plötzlich im Sommer wieder. Er beobachtet sich selbst die Straße zu Gias Haus überquerend und erkennt, dass er sich in der Zeit vor fünf Jahren befindet. In letzter Sekunde gelingt es ihm, Leonie aus dem Pool zu retten. Als sein jüngeres Ebenbild ins Haus zurückkehrt und ihn als potentiellen Einbrecher angreift, bringt David es in Notwehr um.

Der Film wird immer verstörender, dem Zuschauer wird gezeigt, dass die meisten Bewohner der Straße ebenfalls durch die Tür gekommene Doppelgänger sind, die ihre jüngeren Ichs umgebracht und in den Gärten der Häuser vergraben haben. Diese Grundidee des Films findet man auch im Buch wieder. Allerdings kehrt der Maler im Roman gleich mit seiner geschiedenen Frau zurück. Statt einer Tochter im Film hat er hier seinen Sohn David verloren und dieser ist noch gar nicht geboren in der Zeit, in die ihn die Tür zurückführt. Und im Buch gehen die beiden ehemaligen Eheleute bereits mit dem festen Vorsatz zurück, ihre Vorgänger umzubringen, um an einer glücklichen Stelle in ihrer Vergangenheit ihr Leben fortzusetzen und ab dort alles besser zu machen.

Bereits zu Beginn hat mir eine Stelle gut gefallen, die einen Gedanken zeigt, den ich auch schon häufiger in einer modernen Kunstausstellung oder Aufführung hatte:

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