Blödkäppchen und der Wolf

14. November 2014 Keine Kommentare

Es war einmal vor langer Zeit an einem schönen, sonnigen Tag, als der Jäger mit seiner Frau in den Wald fuhr. Ihren Wagen ließen sie hinter der Kurve auf dem Weg stehen, dann gingen die beiden zu Fuß weiter, um Beeren zu sammeln. Kurze Zeit später kam Blödkäppchen mit ihrer Freundin angebraust. Blödkäppchen war recht zügig unterwegs, vielleicht wollte sie ihrer Großmutter frisches Obst bringen, vielleicht aber war sie auch einfach zu einer Party unterwegs. Weil sie eigentlich zu schnell fuhr und es erst spät sah, wäre sie fast in das Auto des Jägers hineingekracht. Sie bremste und wartete ein Weilchen auf den Jäger, dann wurde sie ungeduldig – “Wieso muss ich denn hier stehen?” – und setzte zum Vorbeifahren an. Weil sie sich nicht besonders geschickt anstellte, rammte sie das auf dem Weg stehende Auto. Benommen stiegen Blödkäppchen und ihre Freundin aus. Durch den Lärm alarmiert, eilten auch der Jäger und seine Frau herbei.

Blödkäppchen entschuldigte sich wortreich beim Jäger und seiner Frau. Der Jäger tröstete sie: “Fräulein Blödkäppchen, das ist doch nicht so schlimm, als Fahranfänger hatte ich vor vielen Jahren auch mal einen Unfall. Doch hier und heute ist niemand zu Schaden gekommen. Wir lassen die beiden Wagen reparieren und alles wird wieder gut.” Blödkäppchen war sehr erleichtert, sie setzte sich wieder ans Steuer, fuhr etwas zurück, lenkte jetzt etwas geschickter und düste davon. Hinter ihr blieb nur eine große Staubwolke über dem Weg stehen. Der Jäger und seine Frau blickten den beiden Mädchen nach, die Frau des Jägers zweifelte: “Besonders viel scheint Blödkäppchen ja nicht aus ihrem Fehler gelernt zu haben.”
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Yves Bossart: Ohne Heute gäbe es morgen kein Gestern

11. November 2014 Keine Kommentare

Das Buch war ein Spontankauf, weil mir im Buchladen der Titel auf dem Einband auffiel, ein origineller Aphorismus. Yves Bossart ist ein Philosoph, der in seinen Seminaren mit Gedankenexperimenten arbeitet, ähnlich wie es Sokrates mit seinen Fragen an seine Mitmenschen getan hat. Einige davon kannte ich schon, viele waren mir neu. Vielleicht als Einstieg die Gedanken, die er zum Thema Letztbegründung äußert, etwas, das mich schon ein paarmal beschäftigt hat:

Aristoteles meint nun, dass dieses Lebensglück das letzte und eigentliche Ziel des Menschen sei. Gewisse Dinge wollen wir nur, um mit ihnen etwas anderes zu erreichen. Sie sind nur Mittel zum Zweck, wie etwa Geld, Macht und Besitz. Das Glück aber erstreben wir nicht, um damit etwas anderes zu erreichen. Es ist Selbstzweck. Spielen wir das an einem Beispiel durch: Angenommen, Sie wollen sich die Haare schneiden lassen. Wozu? Damit Sie gut aussehen. Und warum wollen Sie gut aussehen? Damit andere Sie attraktiv finden. Und warum wollen Sie attraktiv sein? Damit Sie mit anderen ins Gespräch kommen. Und warum möchten Sie das? Damit Sie einen Partner kennenlernen. Aber wozu das? Um geliebt zu werden. Und wozu möchten Sie geliebt werden? Weil Sie das glücklich macht. Und wozu wollen Sie glücklich sein? Hmm. Schwer zu sagen. Die Frage, wozu wir glücklich sein wollen, macht keinen Sinn. Daran zeigt sich: Ein gelungenes Leben ist nie Mittel zum Zweck, sondern der Endzweck allen Tuns.

Häufig bin ich in der letzten Zeit mit der Meinung konfrontiert worden, Philosophie wäre in der heutigen Zeit überflüssig geworden, die Naturwissenschaften würden nach und nach alle Rätsel lüften. Ich glaube, bereits das Eingangsbeispiel mit den Letztbegründungen beweist das Gegenteil. Ein weiteres Beispiel ist das Phänomen der Zeit. Damit beschäftigen sich Menschen bereits seit dem Beginn des systematischen Denkens. Die Physik des 20. Jahrhunderts hat nun in Form der Realitivitätstheorie viel über die Zeit herausgefunden, aber was sie nun wirklich ist, das wohl eher nicht. Weil sich auch der Titel des Buchs davon ableitet, jetzt ein seehr langes Zitat aus dem Buch:

Können Sie sich eine Welt vorstellen, in der es keine Zeit gibt? Wenn Sie meinen, das sei ein Kinderspiel, dann haben Sie mit Sicherheit etwas falsch gemacht: Sie sollten sich eine Welt vorstellen, in der keine Zeit vergeht, nicht eine Welt, in der alles stillsteht und es keine Veränderung gibt! Eine Welt im Stillstand wäre nämlich immer noch eine Welt in der Zeit. Denn damit etwas stillstehen kann, braucht es Zeit. Jeder Stillstand hat eine Dauer und ist daher ohne Zeit nicht möglich. Also noch einmal: Wie sähe eine zeitlose Welt aus – eine Welt, in der es weder Veränderung noch Stillstand gibt?

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Der deutsche Philosoph Immanuel Kant hat festgestellt, dass es gewisse Dinge gibt, die wir nicht wegdenken können. Die Zeit gehört dazu. Aber auch die Farben: Stellen Sie sich ein Objekt vor, das keine Farbe hat – also weder rot, grün, schwarz, weiß usw. ist. Unmöglich. Auch die räumliche Ausdehnung ist etwas, von dem wir nicht abstrahieren können. Oder können Sie sich ein Objekt vorstellen, das keine Ausdehnung hat? Für Dinge und Eigenschaften gilt dasselbe: Können Sie sich ein Ding denken, das keine Eigenschaften hat? Oder eine Eigenschaft, die nicht die Eigenschaft irgendeines Dinges ist, sondern losgelöst existiert? Was auf die Zeit, den Raum, auf Farben, Dinge und Eigenschaffen zutrifft, gilt auch für kausale Ereignisse: Versuchen Sie sich ein Ereignis vorzustellen, das nicht durch ein anderes Ereignis verursacht worden ist. Eine Fensterscheibe etwa, die einfach so zerbricht, ohne dass ein Stein sie zerschlagen oder sich eine innere Spannung aufgebaut hätte. Einfach so, aus dem Nichts. Unvorstellbar.

Unsere Vorstellungskraft und unser Verstand haben Regeln und Grenzen. Es ist, als ob wir eine blaue Brille tragen würden, durch die alles blau aussieht. Eine Brille, die wir niemals ablegen können. Diese Brille des Verstandes formt alles, was wir denken. Nach Kant ordnet sie alles nach einer zeitlichen und räumlichen Struktur, einem Nacheinander und Nebeneinander. Zudem formt sie die Eindrücke und Vorstellungen zu Dingen mit Eigenschaften und zu Ereignissen mit Ursachen. Unser Denken verleiht der Welt, die wir kennen, ihre Grundstruktur. Und zu dieser Grundstruktur gehört nach Kant die Zeit. Sie sei eine »Anschauungsform«, also gleichsam eine Brille unserer Anschauung, die wir nicht ablegen können. Darum ist es uns nicht möglich, eine Welt ohne Zeit zu denken. Manchmal wünschen wir uns, die Zeit würde stillstehen. Aber eigentlich meinen wir damit nicht die Zeit, sondern die Bewegung und Veränderung. Wir sagen: »Für einen kurzen Augenblick stand die Zeit still.« Aber wie kann die Zeit für einen kurzen Augenblick stillstehen? Es ist schlicht widersprüchlich zu behaupten, die Zeit stand für eine Sekunde still. Denn eine Sekunde kann nur vergehen, wenn die Zeit läuft, nicht wenn sie stillsteht.

Die Vergangenheit ist die Zukunft der Gegenwart, wie es so schön heißt. Zeit verrinnt, weil Zukünftiges gegenwärtig und Gegenwärtiges zu Vergangenem wird. Die Zeit besteht also aus Zukunft, Gegenwart und Vergangenheit. Nun ergibt sich allerdings ein Problem: Die Zukunft existiert noch nicht, die Vergangenheit existiert nicht mehr und die Gegenwart ist eine ausdehnungslose Grenze zwischen Zukunft und Vergangenheit. Es gibt also weder das Zukünftige, noch das Vergangene, noch das Gegenwärtige. Da aber die Zeit aus diesen dreien zusammengesetzt ist, existiert auch die Zeit nicht.

Dieses schnörkellose Argument stammt von dem Philosophen und Kirchenvater Augustinus, den wir bereits kennengelernt haben und der um 400 n. Chr. seine berühmte Schrift »Bekenntnisse« verfasste, ein angebliches Zwiegespräch mit Gott, das einer Mischung aus Autobiografie, Seelenstriptease und philosophischer Abhandlung gleichkommt. Gegen Ende der Schrift kommt Augustinus auf die Zeit zu sprechen und stellt diese berühmte Paradoxie auf.

Die Zeit sei aus drei Teilen zusammengesetzt: Zukunft, Gegenwart und Vergangenheit. Keiner dieser Teile sei jedoch wirklich, denn die Zukunft existiere noch nicht, die Vergangenheit sei bereits vorbei und die Gegenwart sei ohne Ausdehnung und entwische uns bei jedem Versuch, sie zu fassen. Also existiere auch die Zeit nicht. Aber ist diese Konsequenz nicht absurd? Wir sehen doch Tag für Tag und Sekunde für Sekunde, wie sich die Dinge um uns herum verändern. Und wir vergleichen zeitliche Prozesse miteinander, etwa wenn wir sagen: »Mit dem Zug fährt man doppelt so lange wie mit dem Auto.« Aber wie können wir, so fragt Augustinus, die Zeit messen, wenn sie nicht existiert? Wie können wir ihre Ausdehnung bestimmen, wenn sie doch keine hat? Überhaupt: wie misst man die Zeit?

Aristoteles meinte, wir messen die Zeit mit Bewegung – und zwar mit einer gleichförmigen Bewegung. Zu Aristoteles’ Zeiten dienten die Umläufe der Gestirne als Zeitmesser. Heute richten wir uns mit sogenannten Atomuhren an den gleichmäßigen Schwingungsprozessen von Elementarteilchen aus. Diese sind noch präziser als die Umläufe der Gestirne. Aber wie wissen wir überhaupt, dass eine Bewegung konstant ist, also weder schneller noch langsamer wird? Wir brauchen dazu eine weitere gleichbleibende Bewegung, die uns als Richtschnur dient. Wir messen also Bewegung mit Bewegung. Was aber wäre, wenn sich alle Prozesse in der Welt gleich stark beschleunigen würden, auch unser Denken? Würden wir etwas bemerken? Wäre das nicht so, wie wenn alle Objekte, die es gibt, sich gleichmäßig vergrößern würden? Würden wir dieses Wachsen überhaupt bemerken?

Wir haben bereits gesehen, dass aus Sicht der Physik die Zeit schneller und langsamer laufen kann. Aber ist das wirklich so? Ist es wirklich die Zeit, die schneller und langsamer läuft? Sind es nicht vielmehr die Bewegungen? Tatsache ist, Atomuhren laufen langsamer, wenn sie in Bewegung sind. Aber zeigt das, dass die Zeit dann langsamer vergeht? Oder zeigt es lediglich, dass die Dinge sich langsamer bewegen? Dass also auch die atomaren Schwingungen langsamer sind? Warum soll das Tempo der Zeit identisch sein mit dem Schwingungsrhythmus von Elementarteilchen? Widerspricht das nicht dem, was wir mit »Zeit« meinen? Reden die Physiker also wirklich über die Zeit, wenn sie das Wort »Zeit« verwenden? Alles schwierige Fragen. Und die Zeit ist knapp. Widmen wir uns also wieder der Philosophie. Augustinus hat nämlich noch eine Lösung in der Tasche.

Augustinus rettet die Zeit, indem er sie in unseren Geist verlegt. Zukünftiges, Gegenwärtiges und Vergangenes sei in unserem Denken und unserer Vorstellung präsent. Wir erinnern Vergangenes, erwarten Zukünftiges und erleben Gegenwärtiges. Unser Geist streckt sich zurück in die Vergangenheit und voraus in die Zukunft, indem er Vergangenes und Zukünftiges vergegenwärtigt. Gleichzeitig verleiht er der Gegenwart eine Ausdehnung. Die Erinnerung hält das Jetzt noch ein Weilchen fest, während bereits neue Eindrücke auf uns einprasseln und wir uns ausdenken, was wohl als Nächstes auf uns zukommt.

Augustinus erläutert seine subjektive Theorie der Zeit mit einem musikalischen Beispiel: Wenn wir einer Melodie lauschen, dann hören wir nicht einzelne Töne. Vielmehr haben wir die vergangenen Töne noch im Kopf und nehmen die nachfolgenden bereits vorweg. Vor unserem inneren Ohr haben wir – auf seltsame Weise – die ganze Melodie präsent, von Anfang bis Ende. Die Gegenwart hat also eine Dauer. Allerdings nur innerhalb unseres Geistes. Augustinus vertrat als Erster eine subjektive Zeitauffassung, gemäß der die Zeit immer eine erlebte Zeit ist. Ohne Geist und ohne Seele gäbe es sie nicht. Außerhalb des Geistes gibt es keine Gegenwart, keine Zukunft und keine Vergangenheit.

Genuin philosophische Themen sind im 20. Jahrhundert Sprache und Logik geblieben (Wittgenstein!) und natürlich Ethik. Zu letzterem das folgende Beispiel:
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Helmut Satz: Gottes unsichtbare Würfel

1. November 2014 2 Kommentare

Der Titel des Buchs ist etwas irreführend, denn um Religion geht es in dem Buch von Helmut Satz überhaupt nicht. Der Autor war Jahrzehnte lang Professor für Theoretische Physik und hat in seinem Buch über den aktuellen Stand der Physik und über Erkenntnisgrenzen geschrieben. Ich habe im Buch einige interessante und für mich neue Ideen gefunden. Die erste ist mit der Frage verbunden, wann man sich denn sicher sein kann, wirklich die elementaren Bestandteile der Welt gefunden zu haben:

Der römische Philosoph Lukrez war schon vor über zweitausend Jahren zu dem Schluss gekommen, dass die kleinsten Bestandteile der Materie nicht einzeln existieren könnten, sondern nur als untrennbarer Teil einer größeren Einheit.

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Aber die Untersuchung der Kräfte zwischen Nukleonen hat gezeigt, dass wir wohl doch noch nicht am Ende angelangt sind. Für das Verständnis der dabei auftretenden Wechselwirkung und der verschiedenen Anregungszustände von Nukleonen ist eine weitere Infrastruktur erforderlich: Ein Nukleon besteht aus drei gekoppelten Quarks – so stark aneinandergekoppelt, dass eine unendlich hohe Energie erforderlich wäre, das Nukleon in Quarks zu spalten. Ein einzelnes Quark kann somit nicht existieren.

Die Quarks, für uns heute die fundamentalen Konstituenten der Materie, haben genau das als ihre wesentliche Eigenschaft: Sie sind auf ewig mit anderen Quarks verkoppelt, mit denen sie dann Nukleonen als größere Einheiten bilden. Die Welt, in der die Quarks existieren, unterscheidet sich wesentlich von unserer: Es ist eine Welt ohne Vakuum, ohne leeren Raum, und sie können dieser Welt nie entkommen, wie auch niemand aus dem Inneren eines schwarzen Lochs entkommen kann.

An anderer Stelle im Buch hat Helmut Satz geschrieben, dass bereits bei der Erstellung des Periodensystems der Elemente durch Mendelejew klar war, dass die Atome nicht die kleinsten Bestandteile der Materie sein können – die ganzzahligen Verhältnisse der verschiedenen Elemente bezüglich der Ladungen und der Atommassen deuteten darauf hin, dass in den Atomen kleinere Bestandteile existieren müssen, die die elementaren Massen und Ladungen tragen.

Aber auch die später entdeckten Nukleonen (Protonen und Neutronen) konnten aufgrund ihrer Eigenschaften nicht elementar sein. Satz ist jetzt aber der Meinung, dass die Quarks elementar sind – unter anderem weil sie keine räumliche Ausdehnung haben und weil sie nicht als Einzelteilchen existieren, sondern nur im Verbund.

Ich habe (philosophische) Zweifel an dieser Meinung. Später schreibt er über die “Quarkmaterie”. Mit dieser wird ein Zustand beschrieben, bei dem bei erheblich höheren Temperaturen und Drücken, so wie sie kurz nach dem Urknall geherrscht haben sollen, die Bindungen zwischen den Quarks und ihre Kombination zu den heute vorhandenen Nukleonen noch nicht existiert haben können. In dieser Art Ursuppe haben sich die verschiedenen Quarks frei bewegt. Zu einem noch früheren Zeitpunkt und noch extremeren Bedingungen könnten die Quarks selbst noch nicht, sondern nur ihre Vorläufer existiert haben. Einige Theoretiker haben ja bereits über Preonen spekuliert.

Mir erscheint die Annahme logisch, dass es überhaupt keine elementaren Bausteine geben kann:

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Caspar David Friedrich: Malen

26. Oktober 2014 Keine Kommentare

Der Maler soll nicht bloß malen, was er vor sich sieht, sondern auch, was er in sich sieht.
Sieht er also nichts in sich, so unterlasse er auch zu malen, was er vor sich sieht.
Sonst werden seine Bilder den Spanischen Wänden gleichen,
hinter denen man nur Kranke und Tote erwartet.

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Sinn, Sein und Sollen

17. Oktober 2014 Keine Kommentare

Unlängst bin ich auf das Problem mit Letztbegründungen gestoßen. Es begegnet einem häufig in der Auseinandersetzung von Gläubigen und Atheisten. Zwei Hauptdiskussionspunkte sind dort:

  • Wenn Gott die Welt gemacht hat, wer hat dann Gott gemacht? …
  • Warum hat Gott den Menschen gemacht? Weil er ihn liebt. Warum liebt Gott den Menschen?…

Allgemein geht man davon aus, dass es keine Letztbegründung geben kann, bei jeder Ursache kann man wieder fragen, was deren Ursache ist. Entweder man verzweifelt an einem infiniten Regress oder man erhält einen logischen Zirkel, d.h. man landet (manchmal unbemerkt) wieder bei einem Argument, das man bereits verwendet hat. Das Kuriose ist jetzt, dass die Aussage, dass es keine Letztbegründung gibt, selbst eine Letztbegründung darstellt, wenn man sie für wahr hält.

Ich habe darüber nachgedacht, wie man diesen Widerspruch auflösen kann, und ich denke, dass ich für mich eine akzeptable Lösung gefunden habe. Letztbegründungen sind nicht möglich für sinnliche Tatsachen, d.h. alles, was an (vermeintlichen) Wahrheiten durch Beobachtung aus der realen Welt extrahiert werden kann. Für logische Tatsachen sieht das etwas anders aus. Das ist der Unterschied zwischen den empirischen Naturwissenschaften und den Strukturwissenschaften, wie der Mathematik.

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Scott Hutchins: Eine vorläufige Theorie der Liebe

7. Oktober 2014 Keine Kommentare

Durch einen Spiegelartikel bin ich auf dieses Buch aufmerksam geworden. In der Nr. 13 vom 24.3.2014 findet man den Artikel “Die Cloud, der siebte Himmel”, in dem darüber geschrieben wird, wie letztlich ein Computer, dem sämtliche Tagebücher eines Mannes eingegeben wurden und der zusätzlich noch mit allen Wassern der KI gewaschen worden ist, am Ende den Turing-Test besteht. Der Sohn des Mannes hilft dem Team, hat aber anfangs große Zweifel an seinem Tun:

»Wir alle haben unsere Erfahrungen und Erinnerungen. Es ist vielleicht gar nicht schlecht, wenn der echte Mann in deinen Erinnerungen weiterhin die größere Rolle spielt.«
»Ich weiß.«
»Du erweist ihm eine große Ehre. Er wollte seinen Körper der Wissenschaft überlassen.« Die Universitäten nehmen keine Leichen von Selbstmördern an. »So haben wir wenigstens seinen Verstand spenden können.«
Kann sein. Aber wenn ich mir die Gesprächsprotokolle ansehe, die zweitausend Sätze, die wir heute gewechselt haben, dann denke ich, dass ich, wenn wir seine Leiche gespendet hätten, heute zumindest nicht darin herumwühlen würde.

Zu Beginn ist es so, dass der Computer Antworten gibt, wie man das von einem Rechner erwartet. Ihm sind die Tagebücher eingegeben worden und er gibt Antworten, die in statistisch ähnlichen Zusammenhängen zu den Fragen so in den eingescannten Texten zu finden sind. Aber dann wird ihm beigebracht, selbst Fragen zu stellen. Und da von einigen Lebensjahren des Mannes keine Tagebücher existieren und sie zudem mit seinem Selbstmord abrupt abbrechen, gibt es genügend Stoff, der den Computer interessiert. Er hält sich irgendwann tatsächlich für die Person, deren Tagebücher er sich einverleibt hat, und als diese Person findet er heraus, dass einer der Gesprächspartner, mit denen er zu tun hat, sein Sohn ist. Später führt er auch Gespräche mit seiner Exfrau, die ihrem gemeinsamen Sohn dann darüber berichtet:

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Oscar Wilde: Leben

6. Oktober 2014 Keine Kommentare

Das Leben ist eine Komödie für jene, die denken,
eine Tragödie aber für jene, die fühlen.

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Die Kreise des Arbelos II

26. September 2014 Keine Kommentare

Im vorhergehenden Artikel Die Kreise des Arbelos I wurde die Größe einiger Kreise hergeleitet, die bereits Archimedes bekannt gewesen sein sollen. Im 20. Jahrhundert wurden von Leon Bankoff zwei weitere Kreise mit derselben Größe im Arbelos gefunden, die heute seinen Namen tragen, die Bankoff-Kreise. Über Bankoff liest man einige ungewöhnliche Dinge: Er arbeitete 60 Jahre als Zahnarzt und war nebenbei Mathematiker. Seine Erdös-Zahl ist null.

Die Erdös-Zahl motiviert mich zu einem kurzen Abschweifen zu den beiden Begriffen “notwendig” und “hinreichend”. Die Erdös-Zahl gibt an, wie nahe bekannt ein Mathematiker mit Paul Erdös gewesen ist, einem der produktivsten Mathematiker des 20. Jahrhunderts. Wenn jemand zusammen mit Erdös einen Artikel publiziert hat, dann erhält er die Erdös-Zahl null. Wenn jemand mit Erdös keinen Artikel veröffentlicht hat, aber mit jemand anderem, der wiederum mit Erdös publiziert hat, dann hat er die Erdös-Zahl eins, usw. Ein ähnliches Spiel gibt es heute in der Wikipedia: Man nimmt zwei beliebige Artikel in der Wikipedia und versucht die minimale Anzahl von Klicks auf Links zu ermitteln, um von der ersten auf die zweite Seite zu gelangen.

Bis vor einiger Zeit war ich noch der Meinung, wenn etwas für einen Sachverhalt hinreichend ist, muss es für den Sachverhalt auch notwendig gewesen sein. Zum Beispiel, wenn zwei Menschen zusammen ein Kind haben (hinreichend), müssen sie sich vorher getroffen haben (notwendig). Dieser Zusammenhang zwischen notwendig und hinreichend zeigt sich immer, wenn ein bestimmtes Ereignis von genau einer Ursache abhängt. Es gibt aber auch andere Fälle. Wenn jemand eine Erdös-Zahl von null hat, dann ist das hinreichend dafür, dass er ein guter Mathematiker ist. Aber es ist nicht notwendig, eine Erdös-Zahl von null zu haben, um ein guter Mathematiker zu sein. Ein weiteres Beispiel: Um reich zu sein, ist es hinreichend, viel Geld zu besitzen. Aber es ist nicht notwendig, viel Geld zu erben. Man kann auch im Lotto gewinnen. Wenn es mehrere Ursachen dafür gibt, hinreichend viel Geld zu besitzen, ist nur eine notwendig, aber keine bestimmte und auch nicht alle von ihnen.

Zurück zu den Bankoff-Kreisen. Der erste entsteht, indem man an die beiden kleineren Halbkreise des Arbelos eine Tangente anlegt und den größtmöglichen Kreis zwischen diese Tangente und den großen Halbkreis quetscht.

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Werner Boote: Kinder

26. September 2014 2 Kommentare

Statt davon zu sprechen, wie viele Kinder eine Familie haben darf, sollten wir uns lieber Gedanken darüber machen, wie viele Autos eine Familie haben sollte.

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Die Kreise des Arbelos I

24. September 2014 Keine Kommentare

Bereits vor langer Zeit bin ich auf den Arbelos gestoßen. In dieser Figur sind drei (Halb)Kreise ineinander geschachtelt. Die Mittelpunkte liegen auf einer Geraden, die Summe der Radien (oder der Durchmesser) der beiden kleineren Kreise ergibt die entsprechende Größe des umschließenden.

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