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R. M. Sainsbury: Paradoxien

In einem Dorf ist der Barbier derjenige, der alle Männer rasiert, die sich nicht selbst rasieren.

Wenn der Barbier sich nicht selbst rasiert, dann ist er derjenige, der vom Barbier, also von sich selbst, rasiert wird. Das ist ein typisches Paradoxon, aber ein sehr einfach zu lösendes. Sainsbury teilt die Paradoxa in seinem Buch in zehn Schwierigkeitsgrade ein, das Barbierparadoxon bekäme dabei die Eins und wird folglich von ihm nicht für voll genommen. Meine Lösungen, als ich das erste Mal von diesem Paradoxon gelesen habe, waren: Der Barbier wohnt nicht im Dorf oder der Barbier ist eine Frau. Für Sainsbury ist die Lösung noch einfacher, und er teilt sich diese Lösung mit Bertrand Russell: Es gibt keinen solchen Barbier. Punkt.

Dieses Paradoxon macht auf einen interessanten Aspekt aufmerksam: Sprache ist Teil der Wirklichkeit, aber mit ihrer Hilfe können Aussagen formuliert werden, die entweder nicht logisch oder (physikalisch) nicht realisierbar sind. Da Logik und Physik aber ebenfalls Aspekte der Wirklichkeit abbilden, was sagt uns das jetzt über die Wirklichkeit?

Auf der anderen Seite der Schwierigkeitsskala, nach Sainsbury bei Zehn, steht ein sehr einfaches sprachliches Paradoxon:

Dieser Satz ist falsch.

Wenn der Satz wahr ist, dann ist er falsch, wenn er aber falsch ist, dann muss er wahr sein. Die Beschäftigung mit diesem Paradoxon kann einen ganz tief in die Sprachphilosophie hineinführen, man kann heute noch darüber promovieren, wenn einem neue Aspekte einfallen oder man gar glaubt, es lösen zu können. Es taucht in unzähligen Varianten auf, bereits in der Antike:

Epimenides, der Kreter sagt, dass alle Kreter lügen.

Oder in einer Zweisatzvariante:

Der nachfolgende Satz ist falsch.
Der vorangegangene Satz ist wahr.

Hier ahnt man vielleicht, welche Bedeutung Paradoxa haben und welche Beunruhigung sie hervorrufen: Wenn sich in einer logischen Beweisführung unbemerkt ein einziger solcher Widerspruch befindet, dann ist der gesamte Beweis wertlos. Wie ich schon erwähnte, beschäftigen sich die Menschen bereits seit der Antike mit Paradoxa. Einige bekannte Motive tauchen heute in moderner Form auf und es bedarf einigen Nachdenkens, um ihre klassischen Vorgänger (und deren bereits bekannte Auflösung) zu finden. Ein Beispiel aus dem Buch:

Es gibt gewisse Schreibtischlampen mit einem Schalter im Fuß. Wenn die Lampe aus ist und man den Schalter drückt, geht sie an, und wenn die Lampe an ist und man den Schalter drückt, geht sie aus. Nun, angenommen, die Lampe ist aus und es gelingt mir, den Schalter unendlich oft zu betätigen, etwa indem ich in der ersten Minute einmal drücke, noch einmal in der folgenden halben Minute und so fort, gemäß Russells Anweisung. Nachdem ich die ganze unendliche Reihe von Schaltungen erledigt habe, also nach zwei Minuten, ist dann die Lampe an oder aus? Es scheint unmöglich, diese Frage zu beantworten. Sie kann nicht an sein, da ich sie nie angeschaltet habe, ohne sie sogleich wieder auszuschalten. Sie kann nicht aus sein, da ich sie zu Beginn angeschaltet hatte und sie danach nie ausgeschaltet habe, ohne sie sogleich wieder anzuschalten. Die Lampe muss aber entweder an oder aus sein. Das ist ein Widerspruch.

Die Summe 1 Minute + 1/2 Minute + 1/4 Minute +… konvergiert gegen 2 Minuten, also nach 2 Minuten sind die unendlich vielen Schaltvorgänge beendet. Dieses Paradoxon erinnert an Zenons Paradoxon von Achilles und der Schildkröte:

Achilles tritt gegen die Schildkröte in einem Laufwettbewerb an. Da die Schildkröte langsamer als Achilles ist, gewährt Achilles ihr einen Vorsprung. Bevor Achilles die Schildkröte überholen kann, muss er zuerst ihren Vorsprung einholen. In der Zeit, die er dafür benötigt, hat die Schildkröte aber einen neuen, wenn auch kleineren Vorsprung gewonnen, den Achilles ebenfalls erst einholen muss. Ist ihm auch das gelungen, hat die Schildkröte wiederum einen Weg-Vorsprung gewonnen, und so weiter. Der Vorsprung, den die Schildkröte hat, wird zwar immer kleiner, bleibt aber dennoch immer ein Vorsprung, sodass sich der schnellere Läufer der Schildkröte zwar immer weiter nähert, sie aber niemals einholen und somit auch nicht überholen kann.

Von Zenon stammt übrigens auch der Beweis (das Paradoxon), dass es keine Bewegung gibt:

Zenon sagt, dass ein fliegender Pfeil in jedem Moment seiner Flugbahn einen bestimmten, exakt umrissenen Ort einnimmt. An einem exakt umrissenen Ort befindet sich der Pfeil in Ruhe, denn an einem Ort kann er sich nicht bewegen. Da sich der Pfeil in jedem Moment also in Ruhe befindet, muss er sich insgesamt in Ruhe befinden.

Es hat lange gedauert, bis diese antiken Paradoxa gelöst werden konnten, es bedurfte dazu der Infinitesimalrechnung, die erst von Leibniz bzw. Newton im 17. Jahrhundert entwickelt wurde. Natürlich holt Achilles die Schildkröte ein, weil bei ihrer Verfolgung sowohl die Teilstrecken als auch die Zeitintervalle gegen Null gehen. Und natürlich bewegt sich der Pfeil, weil er sich nur in Ruhe befindet, wenn das betrachtete Zeitintervall keine Ausdehnung hat. Und auch das Schalterparadoxon lässt sich so aufklären: Man nähert sich dem Ende der 2. Minute zwar beliebig an, erreicht es aber nicht. Folglich liegt der Zeitpunkt t + 2 Minuten außerhalb des betrachteten Zeitintervalls und eine sinnvolle Aussage über ihn ist gar nicht möglich.

Ein paradoxes Beispiel aus der Ethik, im Buch zu finden und einem der Philosophen, die Sainsbury zitiert, tatsächlich so geschehen:

Bevor du geboren wurdest, bekamen deine Eltern eine scheinbar völlig normale Tochter, außer dass sie von Geburt an einen schweren Herzfehler hatte, die nach nur wenigen Wochen zu ihrem Tod führte … Du wurdest danach geboren. Mit der Zeit hast du entdeckt, dass du, wenn deine Schwester überlebt hätte, nicht gezeugt worden wärest.

Das Paradoxon besteht darin, dass man den Tod seiner Schwester bedauert und sich gleichzeitig darüber freut, weil man sonst selbst ja nicht leben würde. Die Ethik ist überhaupt ein Minenfeld voller Paradoxa. Nehmen wir z.B. die denkbare Einführung der Todesstrafe für jedwede Delikte. Vielleicht wird es nach der Ankündigung der Todesstrafe für kleinere Verbrechen keine kleineren Verbrechen mehr geben. Aber darf man die Todesstrafe für diese Verbrechen ankündigen, wenn sie der Schwere der Tat überhaupt nicht angemessen ist?

Im Mittelteil des Buchs werden sehr viele der Paradoxa diskutiert, die man auch im Wikipedia-Artikel über Paradoxa findet, gemeinsame Eigenschaften, Lösungsmöglichkeiten, z.B.:

Eines meiner derzeitigen Lieblingsparadoxa ist das der unerwarteten Prüfung (in der Wikipedia derzeit als Paradoxon der unerwarteten Hinrichtung zu finden, allerdings dort auf der Abschussliste der entweder zu verbessernden oder zu löschenden Artikel).

Die Lehrerin teilt der Klasse mit, dass sie irgendwann nächste Woche eine Prüfung abhalten will. Sie will nicht bekannt geben, an welchem Tag, denn es soll eine Überraschung sein, wie sie sagt. Auf den ersten Blick scheint es keinen Grund zu geben, warum die Lehrerin trotz dieser Ankündigung nicht genau das tun können sollte, was sie angekündigt hat: die Klasse unerwartet zu prüfen. Es wird nicht völlig unerwartet sein, da die Klasse weiß – oder doch guten Grund zu der Annahme hat -, dass die Prüfung irgendwann nächste Woche stattfinden wird. Sie könnte jedoch sicherlich in dem Sinne unerwartet oder eine Überraschung sein, dass die Klasse am Morgen, an dem sie stattfinden wird, keinen guten Grund hat zu glauben, sie werde an diesem Tag stattfinden – auch wenn die Klasse vom Inhalt der Ankündigung der Lehrerin wusste oder zumindest guten Grund hatte, ihr Glauben zu schenken. Kann die Lehrerin ihr Ziel erreichen, indem sie die Klasse etwa am Mittwoch prüft?

Die Klasse überlegt folgendermaßen: Nehmen wir an, die Lehrerin wird ihre Drohung in beiden Teilen wahr machen, d.h., sie wird eine Prüfung abhalten, und diese wird unerwartet sein. Dann kann die Lehrerin uns nicht am Freitag prüfen (vorausgesetzt, das ist der letzte mögliche Tag der Woche), denn, wenn der Freitagmorgen kommt und wir wissen, dass alle vorhergehenden Tage prüfungsfrei waren, dann hätten wir allen Grund zu erwarten, dass die Prüfung am Freitag stattfinden wird. Die Prüfung für Freitag aufzuheben, ist also damit unvereinbar, eine unerwartete Prüfung abzuhalten. Aus ähnlichen Gründen kann die Prüfung nicht am Donnerstag stattfinden. Unsere obige Schlussfolgerung vorausgesetzt, dass sie nicht bis Freitag hinausgezögert werden kann, wüssten wir, wenn der Donnerstagmorgen kommt und die vorhergehenden Tage prüfungsfrei waren, dass sie am Donnerstag abgehalten werden muss. Wenn sie also am Donnerstag stattfinden würde, wäre sie nicht unerwartet. Also kann sie nicht am Donnerstag stattfinden. Ähnliches Schlussfolgern zeigt angeblich, dass es keinen Tag der Woche gibt, an dem sie abgehalten werden kann, und zeigt also angeblich, dass die Annahme verworfen werden muss, die Lehrerin könne ihre Drohung wahr machen. Das ist paradox, denn es scheint auf der Hand zu liegen, dass die Lehrerin ihre Drohung wahr machen kann.

Irgendetwas muss daran falsch sein, wie die Klasse nachgedacht hat, aber was?

Das logische Paradoxon besteht jetzt darin, dass die Lehrerin am Freitag die Prüfung abhalten kann, sie aber genauso am Montag, Dienstag, Mittwoch oder Donnerstag prüfen kann, weil die Klasse sie ja gerade aufgrund ihrer Überlegungen nicht erwartet. In der Praxis wird die Prüfung aber vermutlich in der Nähe des Mittwochs stattfinden. Offenbar klafft hier ein gewaltiges (Logik)Loch zwischen unserem natürlichen Denken und den abstrakten Überlegungen, die wir mit unserer Logik und über unsere Sprache vorgenommen haben.

Ein etwas einfacheres Beispiel ist der Satz

Der Kaiser von Frankreich hat eine Glatze.

Diese Aussage ist offensichtlich falsch. Nach dem bekannten Lehrsatz vom ausgeschlossenen Dritten, den bereits Aristoteles kannte, ist die Verneinung einer falschen Aussage eine wahre Aussage:

Der Kaiser von Frankreich hat keine Glatze.

Genau. Wer nun wissen will, wie man sich all der Paradoxa entledigt oder sie wenigstens analysieren kann, sollte das Buch lesen. Einige Abschnitte sind sehr leicht zu verstehen, andere sehr schwierig. Es lohnt sich in jedem Fall.

Kommentare

josef 08/05/2010 01:23:07 PM

Also, ich denke, der Satz

Epimenides, der Kreter sagt, dass alle Kreter lügen.

ist garkein Paradoxon. Nach der formalen Logik ist doch die Negation von ‚Alle Kreter lüge‘ nicht ‚Kein Kreter lügt‘ sondern ‚Es gibt (mindestens) einen Kreter, der nicht lügt‘. Und das muss ja nicht gerade dieser Epimenides sein

Köppnick 08/05/2010 09:25:38 PM

Die meisten Paradoxa entstehen doch durch die Selbstbezüglichkeit. Wir können die Aussage von Epemenides in zwei Teile zerlegen:

  • Alle anderen Kreter lügen.
  • Ich lüge.

An dem ersten Satz gibt es (logisch) nichts auszusetzen. Das Paradoxon in der zweiten Aussage lässt sich aber so nicht beseitigen.

ostfriese 08/06/2010 11:14:51 PM

Antinomie vs. Paradoxon
Paradox heißt ja eigentlich nur „neben der Lehre“, also außerhalb der Erwartung. Der „Kreter“ ist durchaus paradox (weil irritierend), aber er ist kein antinomischer Satz, bei der sowohl die Annahme, er sei wahr, als auch die Annahme, er sei falsch, zum logischen Widerspruch führt.

Präzise muss der Satz ja lauten ‚ Epimenides, der Kreter, sagt: „Alle Kreter lügen immer, bei allem, was sie behaupten“ ‚. Denn andernfalls entstünde überhaupt kein Problem.

Nehmen wir an, er sei wahr. Dann würde folgen, dass Epimenides, wie jeder Kreter, immer, also auch diesmal gelogen habe, seine Behauptung also falsch wäre (im Widerspruch zur Annahme).

Nehmen wir also an, er sei falsch. Dann, da hat Josef völlig recht, ist das logische Gegenteil wahr: Nicht alle Kreter lügen immer, es gibt auch Kreter, die manchmal nicht lügen. Diese Erkenntnis steht nicht im Widerspruch zur Annahme, denn Epimenides muss ja nicht zu jenen gelegentlich ehrlichen Kretern gehören. Er könnte ein notorischer Lügner sein und hätte auch diesmal Unsinn erzählt.

Erstaunlich bleibt aber allemal, dass wir auf einem rein analytischen Wege scheinbar etwas über die Wahrheitsliebe der Kreter herausgefunden haben. Aber das scheint nur so. Es könnte nämlich trotzdem so sein, dass alle Kreter immer lügen, nur könnte dann niemand von ihnen dieses Faktum aussprechen.

Köppnick 08/08/2010 10:06:35 AM

@Ostfriese: Ich mag dir nicht zustimmen. Bei der Anwendung des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten stolpern wir über die Mehrdeutigkeit der natürlichen Sprache. „Alle Kreter lügen immer“ hat (mindestens) drei Negationsmöglichkeiten:

  • Nicht alle Kreter lügen immer.
  • Alle Kreter lügen nicht immer.
  • Alle Kreter lügen immer nicht.

Wenn wir uns wegen der dreifachen Negationsmöglichkeit (Alle/nicht alle, lügen/lügen nicht, immer/nicht immer) einen Würfel vorstellen, dann füllt die Originalaussage einen der acht möglichen Quadranten, aber keine der Verneinungen alle anderen sieben.

Das Paradoxon entsteht nicht durch die Verneinung, sondern durch die Selbstbezüglichkeit der Originalaussage, weil Epimedes meiner Meinung nach eine Variante von „Dieser Satz ist falsch“ gesagt hat. Bei „alle“ sind deshalb nicht die anderen Kreter wichtig, sondern nur, dass er selbst eingeschlossen ist.

Gregor Keuschnig 08/09/2010 01:35:15 PM

„Epimenides, der Kreter sagt, dass alle Kreter lügen.“ ist für mich zunächst ein Widerspruch in sich. Denn jemand, der einen Satz sagt, erhebt per se den Anspruch auf den Wahrheitsgehalt dieses Satzes. Wenn der Kreter nun sagt, dass alle Kreter lügen, so erscheint dieser Satz auf den ersten Blick dann ebenfalls als Lüge. Mithin wäre er unsinnig, denn wenn jemand zu Erkennen gibt, dass das, was er sagt falsch ist, wäre es überflüssig, dies zu sagen bzw. ihm zuzuhören.

Epimenides sagt aber (im zitierten Fall) nicht, dass alle Kreter immer lügen. Nur dann wäre der Satz unsinnig, weil er ja dann auch gelogen wäre. Wenn es aber gelogen wäre, dass alle Kreter lügen, wäre ja die Negation der Negation wieder die Wahrheit, d. h. in dem ein „lügender Kreter“ sagt, dass alle Kreter immer lügen würden, würde er ja selber lügen, was bedeutet, dass entweder nicht alle Kreter lügen, alle Kreter nicht immer lügen oder Kreter niemals lügen (letzteres ist wiederum sehr unwahrscheinlich).

Der Satz ist also – meines Erachtens – weder ein Paradoxon noch irgendwie „weiterführend“.

Ähnliches gilt im übrigen für die sonst so angeführten Lügen-Paradoxien, wie etwas das von Russell „A man says: I am lying. – Ein Mann sagt: Ich lüge gerade.“ Auch dieser Satz ist so unsinnig, da er sich ausschließlich auf sich selbst bezieht.

ostfriese 08/15/2010 01:50:42 AM

@Köppnick
Wenn Du den Satz „Alle Kreter lügen immer“ umformulierst zu: „Für alle Kreter und für alle Zeitpunkte gilt Aussagenfalschheit“, ergeben sich in der Tat die ersten beiden von Dir genannten Negationsmöglichkeiten (die dritte ist keine Negation im Sinne der klassischen Prädikatenlogik).

Für die erste hatte ich ja bereits erläutert, warum sie eine unproblematische Lösung des Paradoxons eröffnet, für die zweite will ich dies gern nachholen: Wenn wir also annehmen, dass für alle Kreter gilt, dass sie nicht immer lügen (sondern manchmal die Wahrheit sagen), dann kann die Behauptung von Epimenides zwar nicht wahr, aber unproblematischerweise schlicht falsch sein.

Es ist also egal, welche der beiden Quantoren Du umdrehst. Man könnte sie ohnehin zu einem vereinigen, wenn man den Satz von Epimenides so formuliert: „Jede Behauptung eines Kreters ist falsch“ oder „Für alle Kreterbehauptungen gilt Falschheit“. Auch in diesem Fall löst man das Paradoxon mühelos, indem man einfach annimmt, dass zwar nicht jede, aber eben diese Behauptung eines Kreters falsch ist.

Wie man’s auch dreht und wendet: „Der Kreter“ ist keine Antinomie, sondern bloß ein Paradoxon.

tom-ate 08/19/2010 08:59:59 PM

„Da Logik und Physik aber ebenfalls Aspekte der Wirklichkeit abbilden, was sagt uns das jetzt über die Wirklichkeit?“

Logik ist ein Spiel, ein Sprach- und/oder Mathe-Spiel mit Regeln. Somit sagt es etwas aus, über Sprache und Mathe. Folglich auch über menschliches Denken? Nein, nicht in seiner normalen, alltäglichen Form, die ist intuitiv und heuristisch. Logik sagt etwas aus über bestimmte abstrakte Denkspiele, die vor allem Philosophen gern betreiben.

ww 09/12/2010 00:30:01 PM

Ich hoffe, Dir geht es in der langen Pause gut. Habe alte nensche durchgeguckt und mich an p-Artikeln erfreut.

greets

ww

Köppnick 09/12/2010 07:42:32 PM

Ja, mir geht es gut. Zwischen zwei Urlauben hatte ich einen Rückfall mit der Halswirbelsäule. Danach hat mich eine große Schreiblähmung befallen, die inzwischen nahtlos in eine große Schreibfaulheit übergegangen ist.

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