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Das Hutproblem

Vor ein paar Wochen habe ich aus dem Zeitschriftenladen ein „Spektrum Highlights“-Heft mitgenommen: „Mathematische Spiele und Strategien“. Einige der Aufgaben sind (für mich) so schwierig, dass sie sich nicht als Feierabend-Sofa-Lektüre eignen, ich habe sie inzwischen schon x-mal gelesen und verstehe sie immer noch nicht vollständig. Einige alte Bekannte habe ich auch gefunden und dann letztendlich auch die schöne neue Aufgabe, um die es weiter unten gehen soll, das „Hutproblem“. Vielleicht zunächst zu den drei „alten Bekannten“.

Der Klassiker schlechthin ist natürlich das Ziegenproblem, das Marilyn vos Savant berühmt gemacht hat. Wegen ihrer Lösung wurde sie seinerzeit auch von Mathematikern beschimpft, u.a. wurde ihr geraten, sie solle doch nochmals ein Mathematikbuch in die Hand nehmen und ihre Wissenslücken aufarbeiten. Selbst einer der besten Mathematiker des 20. Jahrhunderts, Paul Erdös, hat die Lösung zunächst nicht geglaubt und musste erst durch eine Computersimulation(!) von der Richtigkeit überzeugt werden. Mit meinen eigenen Worten:

In einer Rateshow verbergen sich hinter drei Türen zwei Ziegen und ein Auto. Wenn Sie eine Tür öffnen und dahinter befindet sich eine Ziege, haben Sie verloren. Wenn Sie eine Tür öffnen und dahinter steht das Auto, dürfen Sie es behalten. Zunächst wählen Sie eine der drei Türen aus ohne sie zu öffnen. Danach öffnet der Quizmaster eine der beiden anderen Türen und zeigt Ihnen eine Ziege. Sollen Sie danach bei Ihrer ursprünglichen Wahl der ersten Tür bleiben oder auf die dritte Tür wechseln?

Intuitiv neigen die meisten Menschen dazu, keinen Unterschied zwischen der ersten und der dritten Tür zu sehen, für sie ist es also gleich, ob man bei der ersten Wahl bleibt oder zur dritten Tür wechselt. Im ersten Fall beträgt die Wahrscheinlichkeit für das Auto bei 1/3, warum sollte es nach einem Wechsel anders sein? Für die erste Tür bleibt die Wahrscheinlichkeit tatsächlich bei 1/3. Aber das heißt ja, dass die Wahrscheinlichkeit für die beiden anderen Türen 2/3 beträgt. Durch das Öffnen der zweiten Tür zeigt der Quizmaster, dass dort kein Auto steht. Folglich beträgt die Wahrscheinlichkeit für das Auto jetzt allein für die dritte Tür 2/3 – man sollte also wechseln!

Gegen Ende des Hefts gibt es den Artikel „Rezept zum Finden des Märchenprinzen“. Diese Aufgabe kenne ich seit 2004, Wie findet man seinen Traumprinzen?. Ob es in der Zeitschrift derselbe Text wie vor 11 Jahren in „Spektrum der Wissenschaften“ ist, weiß ich nicht, das Heft ist lange entsorgt. Aber die Bilder sind jedenfalls dieselben geblieben.

Die Aufgabe „Bekleckste Mönche“ ist eine Analogie zu einer anderen Aufgabe, die mir 2010 bekannt geworden ist, Die Insel der Oculaner. Ich habe seinerzeit keine Lösung für die Aufgabe angegeben. Hier nur ganz kurz die neue Fassung:

Die außerordentlich höflichen Mönche des Perplexianer-Ordens foppen einander gern mit logischen Tricks. Eines Nachts, als die Brüder Archibald und Benedikt in tiefem Schlaf liegen, schleicht Bruder Jonas in ihre Zelle und malt jedem einen blauen Farbklecks auf den geschorenen Kopf. Beim Aufwachen bemerkt jeder den Klecks auf dem Kopf des anderen, sagt aus Höflichkeit nichts, überlegt sich im Stillen, ob er vielleicht auch einen Klecks trage, fragt aber – abermals aus Höflichkeit -nicht nach. Da kommt Bruder Zeno, der nie richtig gelernt hat, taktvoll zu sein, in die Zelle und fängt an zu kichern. Gefragt, warum, gibt er Auskunft: »Wenigstens einer von euch hat einen blauen Klecks auf dem Kopf.«

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Das wissen die beiden Mönche natürlich schon. Aber dann denkt Archibald nach: »Ich weiß, dass Benedikt einen Klecks hat, aber das weiß er nicht. Habe ich einen Klecks? Angenommen, ich habe keinen. Dann sieht Benedikt das und muss aus Zenos Bemerkung sofort schließen, dass er selbst einen Klecks hat. Aber er zeigt keine Anzeichen, dass ihm das peinlich sei – oh je, das heißt, ich habe einen Klecks!« Und er wird rot. Benedikt geht es, im selben Moment und aus dem gleichen Grund, genauso. Ohne Zenos Bemerkung hätte keine dieser Gedankenketten in Gang kommen können, und doch hat Zeno ihnen – anscheinend – nichts erzählt, was sie nicht schon wussten.

Bei genauerem Nachdenken wird klar, dass Zenos Bemerkung – »Wenigstens einer von euch hat einen blauen Klecks auf dem Kopf« – eben doch neue Information liefert. Was genau wissen die Mönche? Archibald weiß, dass Benedikt einen Klecks trägt, und Benedikt weiß dasselbe von Archibald. Zenos Bemerkung leistet mehr, als nur Archibald darüber zu informieren, dass einer von beiden bekleckst ist. Sie sagt Archibald auch, dass Benedikt jetzt weiß, dass jemand einen Klecks trägt.

Diese Art der indirekten Information ist für uns außerordentlich schwer zu verstehen, weil sich der Informationsstand jedes Einzelnen mit der Zeit ändert. Weil ich seinerzeit in Die Insel der Oculaner keine Lösung angegeben habe, sei sie hier entwickelt und nachgetragen:

Die Ausgangslage: Oculaner müssen am nächsten Mittag des folgenden Tages rituellen Selbstmord begehen, an dem sie ihre eigene Augenfarbe erkannt haben. Der Wissenschaftler hat ihnen am Tag ihrer Abreise mitgeteilt, dass er Oculaner mit blauen Augen gesehen hat.

Angenommen, es gebe die beiden Oculaner A und B, die beide blaue Augen haben. Sie erfahren von dem Wissenschaftler, dass es Oculaner mit blauen Augen gibt. Da A die blauen Augen von B sieht und B von A, ist das für sie an diesem Tag noch nichts Neues. Da aber A bei B sieht und B bei A, dass der jeweils andere keinen Selbstmord begeht, muss jeweils der eine schlussfolgern, dass der andere eine Person mit blauen Augen gesehen hat. Da die einzige Person, die er nicht sehen kann, er selbst ist, bringen sich beide genau zwei Tage nach Abreise des Wissenschaftlers um.

Dieses Lösungsschema lässt sich rekursiv erweitern. Angenommen, es gibt noch einen dritten Oculaner C, der blaue Augen hat. Wenn dieser am zweiten Tag sieht, dass sich A und B nicht umbringen, weiß er, dass diese noch einen weiteren mit blauen Augen gesehen haben müssen – und da er die Farbe aller anderen Augen außer seiner eigenen sehen kann, weiß er genau dann, dass er selbst blaue Augen hat. Folglich bringen sich A, B und C am dritten Tag um. In der Ausgangsaufgabe mit 100 Blauäugigen erlebt man also 100 Tage nach Abreise einen kollektiven Selbstmord.

In dem „Spektrum Highlights“-Heft gibt es jetzt eine neue Aufgabe, die ebenfalls recht trickreich mit indirekten Informationen spielt:

Auf den ersten Blick scheint es eine ziemlich dämliche Rateshow zu sein. Drei Kandidaten werden ins Studio geleitet. Sowie einer von ihnen den Raum betritt, setzt die hübsche Assistentin des Quizmasters ihm einen Hut auf den Kopf, und zwar einen blauen oder einen roten, je nachdem, wie eine zuvor geworfene Münze fällt. Der Kandidat hat keine Möglichkeit, seinen Hut zu sehen.

Nun stehen sie alle drei im Saal, und der Quizmaster sagt: »Schauen Sie sich die Hüte Ihrer Mitspieler genau an und raten Sie dann, welche Farbe Ihr eigener Hut hat. Sie dürfen sich nicht mit Ihren Mitspielern verständigen, und Sie hören auch deren Antworten nicht.«

Zu den Regeln des Spiels wird noch ergänzt, dass man keine falsche Antwort geben darf und mindestens einer der drei antworten muss, damit alle drei gewinnen – oder verlieren. Dass man durch Raten seiner Hutfarbe – rot oder blau – eine 50%ige Chance hat, ist klar. Aber kann die Chance vergrößert werden? Die Lösung:

Jeder schaut sich die Hüte seiner beiden Mitspieler an. Sind sie von verschiedener Farbe, so hält er den Mund. Sind sie gleichfarbig, dann behauptet er, sein Hut sei von der entgegengesetzten Farbe.

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Das Bild zeigt, dass die drei Teilnehmer mit ihrer Strategie nicht in 50%, sondern in 75% aller Fälle gewinnen. Bei drei Teilnehmern und zwei Farben gibt es acht verschiedene Fälle. In sechs Fällen haben zwei einen Hut einer Farbe und der dritte einen andersfarbigen. In zwei Fällen haben alle drei dieselbe Hutfarbe. In den sechs ersten Fällen gewinnen die drei Teilnehmer, nur in den beiden verbleibenden Fällen verlieren sie.

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