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Zahlenfolge aus Quersummen

Ein Bekannter erzählte mir von einer Zahlenfolge, die er sich in der Sauna überlegt hatte:

7, 5, 3, 1, 8, 6, 4, 2, 9, 7, 5, 3, 1, 8, …

Den anderen Saunagästen konnte er davon natürlich nichts erzählen, aber ich teile mit ihm ein gewisses Faible für Mathematik, schwierige Rätsel, und meistens haben wir auch denselben Humor. Ich sollte herausfinden, welchem Bildungsgesetz seine Folge gehorcht. Dieses Mal gelang es mir nicht. Deshalb verriet er mir, dass es die Quersummen der Vielfachen von sieben sind:

Z  7   14   21   28   35   42   49   56   63   70   … 
Q  7   5   3   10   8   6   13   11   9   7   … 
Q2  7   5   3   1   8   6   4   2   9   7 

In der ersten Zeile stehen die Zahlen in der Tabelle, in der zweiten die Quersummen. Der Clou seiner Zahlenfolge bestand nun darin, dass er, wenn die Quersumme selbst mehrstellig wurde, die Quersumme der Quersumme verwendet hat. Erst dadurch ergab sich das Muster der Folge. Ob das Muster seiner Folge auch bei größeren Zahlen erhalten bleibt, wusste er nicht, soviel hatte er in der Sauna also doch nicht rechnen können. Ich habe es mit ein paar größeren Zahlen probiert:

Z  77777   77784   77791   77798   77805 
Q  35   33   31   38   27 
Q2  8   6   4   11   9 
Q3  8   6   4   2   9 

Hier wird für eine der Zahlen bereits die Quersumme der Quersumme der Quersumme benötigt, aber dadurch bleibt das Muster erhalten. Man kann vermuten, dass die Gesetzmäßigkeit rekursiv ist. Aber wie beweisen?

Eine gute Anlaufstelle für Zahlenfolgen ist The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS). Dort habe ich meine eingetippt und bin auf dieser Seite gelandet. Wie bei allen endlichen Zahlenfolgen gibt es mehrere Lösungen. Hier ist die erste die richtige, denn in ihr kommen die von mir eingetippten Zahlen nicht nur einmal, sondern periodisch vor. Die angegebene Lösung lautet:

 a_n = ( 7 * n ) \ \% \ 9

Das Prozentzeichen in dieser Gleichung heißt „Modulo“, das bedeutet, gesucht ist der Rest der ganzzahligen Division der Zahl mit 9. Interessanterweise ist die angegebene Lösung falsch, wenn auch nur knapp. Die richtige Lösung lautet:

 a_n = ( 7 * n - 1 ) \ \% \ 9 + 1

Der kleine Unterschied kommt dort zum Tragen, wo n ein Vielfaches von 9 ist. Die obere Gleichung ergibt dort 0, richtig ist aber 9. Was hat das Ganze nun aber mit der Quersumme zu tun? Ich musste erst eine Weile nachdenken, bis es mir einfiel. An einem Beispiel: Nehmen wir an, wir haben eine dreistellige Zahl mit den drei Ziffern a2, a1 und a0:

 Z = a_{2} a_{1} a_{0}

Die Quersumme dieser Zahl ist:

 Q = a_{2} + a_{1} + a_{0}

Wenn man die Zahl in Dezimalschreibweise notiert und etwas umformt, …

 Z = a_{2} * 100 + a_{1} * 10 + a_{0}

 = a_{2} * (99 + 1) + a_{1} * ( 9 + 1 ) + a_{0}

… dann erkennt man, warum der Divisionsrest durch 9 die rekursive Quersumme ergeben muss:

 Z \ \% \ 9 = a_{2} * 99 \ \% \ 9 + a_{2} \ \% \ 9 + a_{1} * 9 \ \% \ 9 + a_{1} + a_{0} \ \% \ 9

 = ( a_{2} + a_{1} + a_{0} ) \ \% \ 9

9, 99 (und 999 …) haben bei der Division durch 9 immer den Rest 0. Meinem Bekannten war ein ähnliches Verhalten auch für andere Zahlenfolgen aufgefallen, die Vielfache einer ersten Zahl sind. Tatsächlich ist es egal, mit welcher Zahl man startet, der Modulo-9-Charakter ergibt sich wegen der rekursiven Quersumme bei allen. 🙂

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