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Wurde Mathematik entdeckt oder erfunden?

Um die Frage vernünftig beantworten zu können, muss man sich zunächst einmal die Einordnung der Mathematik in die anderen Wissenschaften ansehen. Heute ist es üblich, die Mathematik als „Strukturwissenschaft“ anzusehen. Strukturwissenschaften, zu denen auch die Informatik zählt, beschäftigen sich mit allgemeinen und abstrakten Objekten, die als Hilfsmittel für andere Wissenschaften dienen – den Geisteswissenschaften (Beschäftigung mit spezifisch menschlichen Themen) und den Naturwissenschaften (hier sagt der Name ja schon alles Wesentliche).

Die Frage, ob mathematische Objekte erfunden oder gefunden werden, ist die Frage nach ihrem ontologischen Status. Wichtig ist an dieser Stelle zu erkennen, dass es keine Beobachtungen oder Experimente gibt, die diese Frage beantworten können, es ist deshalb philosophisch gesehen eine metaphysische Frage. Auf Fragen dieses Typs gibt es im Allgemeinen keine eindeutige Antwort. Man kann lediglich die Argumente zusammentragen, die für oder gegen eine bestimmte Position sprechen.

Platon hat von einer Welt der Ideen und der idealen Objekte gesprochen, unsere reale Welt bietet lediglich unvollkommene Abbilder dieser idealen Welt. Aristoteles vertrat den entgegengesetzten Standpunkt. Für die Fragestellung hier würde ich drei Positionen unterscheiden:

  1. Realismus(Platonismus): Wie schon bei Platon nehmen seine Vertreter an, dass mathematische Objekte auf irgendeine Weise tatsächlich existieren. Die meisten heute lebenden Mathematiker sind (meistens unbewusst) dieser Meinung. Auch Physiker, die von Multiversen sprechen oder die Wahrscheinlichkeit des Urknalls diskutieren oder die Wahrscheinlichkeit bestimmter Werte der Naturkonstanten, müssen (meistens ohne jede Ahnung von der Tragweite bzgl. der Mathematik) dieser Ansicht sein.

  2. Logizismus: Hier wird die Ansicht vertreten, dass mathematische Objekte vollständig auf logische Operationen zurückgeführt werden können. Das verlagert die Frage nach dem ontischen Status mathematischer Objekte auf die Frage, ob die Logik tatsächlich existiert oder nur eine Erfindung des menschlichen Geistes ist. Also statt der Mathematik wird hier die Logik diskutiert. Das verschiebt die Frage, beantwortet sie aber nicht.

  3. Intuitionismus: Hier sind mathematische Objekte Erfindungen des menschlichen Geistes. Eine interessante Zwischenform gibt es in Kroneckers Ausspruch: „Die natürlichen Zahlen schuf der liebe Gott, alles andere ist Menschenwerk“. Das spielt auf einen „Zahlensinn“ an, den auch andere Lebewesen besitzen.

Welche Argumente für oder gegen diese Positionen gibt es nun? In der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts gab es in der Mathematik einige interessante Entwicklungen:

  • Mit der Russelschen Antinomie (*) wurde gezeigt, dass es mathematische Widersprüche gibt, die sich innerhalb der naiven Mengenlehre nicht auflösen lassen.

  • Mit dem Unvollständigkeitssatz von Gödel (*) wurde gezeigt, dass es mathematische Sätze gibt, die offensichtlich wahr oder falsch sind, deren Wahrheitsgehalt innerhalb eines Axiomensystems aber weder bewiesen noch widerlegt werden kann. Nimmt man aber für die Lösung dieses Problems weitere Axiome hinzu, tauchen neue Sätze auf, die dasselbe Problem aufweisen.

  • Mit den nichteuklidschen Geometrien wurde gezeigt, dass es nicht nur eine Mathematik gibt, sondern (beliebig) viele, die jeweils zueinander in logischen Widersprüchen stehen.

Wenn man von der realen Existenz mathematischer Objekte ausgeht, dann muss man eine plausible Erklärung dafür anbieten, wie diese ideale Welt mit unserer realen interagiert. Das ist das typische Problem jedes Dualismus.

Nach einer Phase der Verwirrung trat dann wieder relative Ruhe ein, die aufgeworfenen Probleme der Mathematik haben für den mathematischen Alltag und erst recht für alle anderen Wissenschaften, die die Mathematik als Hilfsmittel benutzen, kaum eine Konsequenz, wegen der Primitivheit der dort verwendeten Mittel.

Aber für die hier diskutierte Frage ist das nicht so. Wie eingangs bereits geschrieben, können metaphysische Fragen nicht eindeutig beantwortet werden. Ich persönlich tendiere zum Intuitionismus. Wir erfinden mathematische Objekte und diese passen so gut zur Beschreibung der uns umgebenden Welt, weil diese uns hervorgebracht hat. Die Annahme idealer Objekte in einer Sphäre außerhalb fällt für mich dem Ockhamschen Rasiermesser zum Opfer, denn sie erklärt nichts besser.

Wir sind evolutionäre Produkte eines (räumlichen und zeitlichen) Bereichs des Universums, in dem bestimmte Gesetzmäßigkeiten gelten. Weil sie gelten, gibt es uns und wir können sie erkennen. Bei der Erforschung dieses Bereichs stoßen wir an Grenzen: In der Mathematik dort, wo die Logik versagt, in der Physik dort, wo die Kausalität nicht mehr gilt.

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  1. Bernd Schneider
    29. Dezember 2018, 17:01 | #1

    Ich denke, „DIE Mathematik“ ist hier vielleicht ein zu weites Feld, um die Frage so zu beantworten. Aber man kann verschiedene Gebiete der Mathematik anschauen. Die Grundlagen der Geometrie hat man wohl eher entdeckt, wie schon der Name andeutet, auch wenn man sich später Geometrien ausgedacht hat (erfunden!), die nicht in der physikalischen Welt entdeckt wurden. Zahlengebilde wie die Quaternionen hat man vermutliche eher erfunden.

    Allem in der Mathematik gemein scheint mit die Logik zu sein, und hier ist es wirklich nicht leicht zu sagen, ob diese erfunden oder entdeckt wurde. Ich würde sagen, logische Zusammenhänge sind nicht erfunden oder entdeckt, sondern notwendig existent, da man Dinge nicht vernünftig beschreiben kann, wenn sie nicht widerspruchslos sind – und damit logisch.

    Generell würde ich aber sagen, dass Mathematiker sich Regeln (Axiome) und mathematische Objekte ausdenken können, die nichts mit der Realität zu tun haben. Aus diesem Grund sehe ich Mathematik in der Tendenz eher als Menschenwerk an, d.h. erfunden.

    Interessant wäre, wo denn die Logik versagt. Wo wären denn diese Grenzen?

  2. Köppnick
    30. Dezember 2018, 14:32 | #2

    @Bernd Schneider
    Wenn Sie bestimmte Teile der Mathematik als „entdeckt“ und andere als „erfunden“ annehmen, verschieben Sie das Problem nur. Dasselbe gilt auch für die Logik.

    Ich habe mich lange als Neuplatoniker betrachtet, bis mir die Widersprüchlichkeit dieser Einstellung aufgefallen ist. Wenn wir die Mathematik als nicht materiell betrachten (Welt der Ideen), haben wir exakt dasselbe Problem, das dem Dualismus zwischen Materie und Bewusstsein eigen ist. Wie wechselwirken beide Welten miteinander, wenn wir die materielle Welt als kausal geschlossen betrachten?

    Meiner Meinung nach gibt es zwei verschiedene Möglichkeiten dieses Problem zu lösen:

    Wir können entweder einen neutralen Monismus annehmen, bei dem Materie und Bewusstsein (oder hier eben Mathematik) zwei Erscheinungsformen von etwas sind, das wir selbst nicht direkt wahrnehmen können.

    Oder wir akzeptieren einen Emergentismus, der besagt, dass hinreichend komplexe Systeme neue Eigenschaften entwickeln, die wir bei den Komponenten noch nicht finden, aus denen sie sich zusammensetzen. Diese Einstellung hat auch ihre Leichen im Keller, denn man muss annehmen, dass hinreichend komplexe Systeme auf ihre Komponenten einwirken können, ohne dass wir genau sagen können, wie sie das tun.

    Aktuell tendiere ich zu dieser zweiten Einstellung, weil sie das „unerkennbare Ding an sich“ vermeidet.