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Artikel Tagged ‘Sangaku’

Goldene Kreise

14. September 2014 2 Kommentare

Im Urlaub hatte ich in einem Rätselbuch diese Zeichung gefunden,

verbunden mit in etwa der folgenden Aufgabe:

Gegeben ist ein gleichschenkliges Dreieck mit zwei Schenkeln der Länge a und einer Grundlinie mit der Länge b. In das Dreieck wird zunächst ein Kreis eingezeichnet, so dass er die beiden Schenkel und die Grundlinie berührt. In den darüber stehenden freien Raum wird der nächste Kreis eingezeichnet, der unten den ersten Kreis berührt und links und rechts wieder die beiden Schenkel. Das Verfahren wird iterativ fortgesetzt, solange bis das gesamte Dreieck bis zur Spitze mit Kreisen ausgefüllt ist. Berechne die Summe der Umfänge aller Kreise!

(In der Zeichnung sollen die drei Punkte die Fortsetzung mit den unendlich vielen weiteren Kreisen andeuten.) Man denkt bei dieser Aufgabe natürlich automatisch an eine Herleitung mit der Methode der vollständigen Induktion, aber so kompliziert wird eine Aufgabe ja in einem einfachen Rätselbuch nicht sein. Tatsächlich war die Lösung auch viel einfacher:

Lösung

Man kann die Summe der Durchmesser aller Kreise recht leicht ausrechnen, sie ist gleich der Höhe des Dreiecks. Und wenn der Umfang eines Kreises gleich Pi mal Umfang ist, dann ist die Summe der Umfänge aller Kreise gleich Pi mal der Höhe des Dreiecks. Ich habe es nicht selbst herausgefunden, mein hyperschlauer Lieblingskollege aber schon. 🙁

U = \pi \sqrt{ a^2 + {{b} \over {2}}^2 }

Diese Aufgabe muss mir wohl noch im Kopf herumgespukt haben, als mir die folgende Aufgabe eingefallen ist:

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Der Doktor und das liebe Pi

9. September 2014 Keine Kommentare

Es gibt nur wenige irrationale Zahlen, die Berühmtheit erlangt haben, die bekanntesten sind sicherlich Pi und e, obwohl es theoretisch mehr irrationale als rationale Zahlen gibt. Von ersteren sind überabzählbar unendlich viele, von letzteren nur abzählbar unendlich viele vorhanden. Vor ein paar Tagen bin ich wieder mal auf das Thema Pi gestoßen und auf einige neue Aspekte aufmerksam geworden. Es hatte ganz harmlos mit einer kurzen Frage begonnen:

Zu Pi habe ich eine Frage: Ich habe nie verstanden, warum mein Mathelehrer so ein Mysterium um die unendlich vielen Nachkommastellen von Pi gemacht hat. Das liegt doch nur an der relativ willkürlichen Festlegung unseres Dezimalsystems. Würde man π (PI), oder ein Vielfaches als Basis unseres Zahlensystens verwenden (was praktisch Humbug wäre, aber theoretisch nicht minder sinnlos als die 10) hätte man das Phänomen doch nicht, oder?

Ich musste kurz nachdenken, aber dann war es mir klar: Wenn man ein Zahlensystem auf der Basis von Pi aufbaut, wird zwar Pi eine ganze Zahl, aber die meisten anderen Zahlen werden bzw. bleiben irrational. Ausnahmen sind alle Produkte der jetzt neuen Zahlenbasis Pi mit einer rationalen Zahl. (Und da, wie oben bereits geschrieben, es unendlich mal mehr irrationale als rationale Zahlen gibt, ändert sich eigentlich wenig.) Man müsste alle Zahlen durch Pi teilen, um ihren Wert in dem neuen System zu ermitteln. Zahlen sind immer Verhältnisse zu ihrer Zahlenbasis. Auch Pi rührt ja aus einem Verhältnis von Zahlen (oder in der Geometrie einer Figur) her, dem Quotienten aus Umfang und Durchmesser eines Kreises.

Doch dann saß ich einem Fehlschluss auf, denn ich dachte, dass es doch irgendwie möglich sein müsste, Pi einfach zu berechnen. Das war aber ein Denkfehler, denn wenn irgendwo in einem Ergebnis Pi auftauchen soll, muss es bereits in der Herleitung enthalten sein und sich alle anderen Variablen und Konstanten wegkürzen. Dem numerischen Wert von Pi kann man sich nur nähern, eine unendliche Reihe kann zwar den exakten Wert liefern – aber wegen der unendlichen Zahl der Faktoren oder Summanden wieder nicht numerisch berechnet werden.

Eine bereits aus der Antike bekannte Näherung stellt das Approximieren eines Kreises durch regelmäßige Vielecke dar. Ein einfacher Fall ist das regelmäßige Sechseck:

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Lämpels Kralle

14. Juni 2014 Keine Kommentare

    In Bild der Wissenschaft veröffentlicht Heinrich Hemme in jeder Ausgabe eine Aufgabe, die immer in eine nette Geschichte verpackt ist. In der Schule ging es früher etwas prosaischer und kürzer zu, da hieß es Textaufgabe und war meistens langweilig und schematisch zu lösen. Die folgende Aufgabe im Märzheft von 2014 hat mich etwas an ein Sangaku erinnert:

    Ich brauche für solche Aufgaben meist nicht lang, hier vielleicht 10 Minuten, aber ich finde sie immer wieder recht unterhaltsam. Die Aufgabe:

    1. Es sind zwei Kreise ineinander gebettet, wobei sich die Größe des kleineren Kreises daraus ergibt, dass ein Kreissegment des größeren Kreises nach innen geklappt ist und den kleineren Kreis begrenzt.

    2. Die Höhe des Segments ist dadurch gegeben, dass ein rechter Winkel, beginnend vom Mittelpunkt des größeren Kreises, den Kreis in zwei Punkten schneidet.

    3. Als absolutes Maß ist bekannt, dass im kleineren Kreis ein Quadrat mit einer Fläche von 1m2 liegt.

    4. Die rote Fläche soll berechnet werden. – Daher auch der Name der Aufgabe, die Lehrer Lämpel gestellt hat: Es soll eine Kralle darstellen, die das Quadrat „umkrallt“.

    Zur Bemaßung hier nochmals eine eigene Skizze:

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Sangaku II

6. März 2014 Keine Kommentare

Ich war noch im Halbschlaf und wie häufig in solchen Fällen, begannen meine Gedanken zu treiben. Mit geschlossenen Augen stellte ich mir eine Art Blütenblatt vor, bestehend aus vier Kreisen. Plötzlich malte mein inneres Auge in einen der vier sich überschneidenden Bereiche einen weiteren Kreis zur Zierde hinein:

Wie groß ist dieser Kreis eigentlich in Bezug auf die anderen vier gleichgroßen, fragte ich mich? Danach war ich hellwach, obwohl es im Zimmer noch stockfinster war. Setzt man den Radius der großen Kreise auf Eins, dann ist sofort ersichtlich, dass das schmale Scheibchen eine Länge von Wurzel Zwei hat und demzufolge der Mittelpunkt des Kreises bei

 (x,y) = (\frac{ \sqrt{ 2 } } { 2 }, \frac{ \sqrt{ 2 } } { 2 })

liegt, wenn der Koordinatenursprung in der Mitte ist. Aber wie sieht es nun mit dem Radius aus? Mir fiel ein, dass ich mich vor einigen Jahren bereits einmal mit Sangaku beschäftigt hatte, und die Aufgabe ist von einem solchen Typ. Im Dunkeln und ohne Schreibmöglichkeit kam ich aber nicht weiter voran und stellte mir deshalb ein anderes geometrisches Problem vor:

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Geschichten aus der Mathematik

28. August 2009 Keine Kommentare

Der Satz des Pythagoras gehört zu den Klassikern, kein Schüler kommt daran vorbei. Ich weiß nicht, ob im Unterricht auch ein Beweis gezeigt wird. Wenn man danach googelt, dann findet man, dass der Satz des Pythagoras mit dem Höhen- und dem Kathedensatz bewiesen werden kann. Besonders anschaulich ist das nicht und wie werden diese beiden Sätze dann bewiesen? Ich habe mir den folgenden geometrischen Beweis gemerkt:


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