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Sangaku II

Ich war noch im Halbschlaf und wie häufig in solchen Fällen, begannen meine Gedanken zu treiben. Mit geschlossenen Augen stellte ich mir eine Art Blütenblatt vor, bestehend aus vier Kreisen. Plötzlich malte mein inneres Auge in einen der vier sich überschneidenden Bereiche einen weiteren Kreis zur Zierde hinein:

Wie groß ist dieser Kreis eigentlich in Bezug auf die anderen vier gleichgroßen, fragte ich mich? Danach war ich hellwach, obwohl es im Zimmer noch stockfinster war. Setzt man den Radius der großen Kreise auf Eins, dann ist sofort ersichtlich, dass das schmale Scheibchen eine Länge von Wurzel Zwei hat und demzufolge der Mittelpunkt des Kreises bei

 (x,y) = (\frac{ \sqrt{ 2 } } { 2 }, \frac{ \sqrt{ 2 } } { 2 })

liegt, wenn der Koordinatenursprung in der Mitte ist. Aber wie sieht es nun mit dem Radius aus? Mir fiel ein, dass ich mich vor einigen Jahren bereits einmal mit Sangaku beschäftigt hatte, und die Aufgabe ist von einem solchen Typ. Im Dunkeln und ohne Schreibmöglichkeit kam ich aber nicht weiter voran und stellte mir deshalb ein anderes geometrisches Problem vor:

Hier gibt es einen großen Kreis, wieder mit einem Radius von Eins, der in ein Quadrat eingebettet ist. Wie groß ist der kleine Kreis, den man in die Ecke quetschen kann, sodass er mit zwei Punkten am Quadrat und mit dem dritten am großen Kreis anstößt? Diese Aufgabe konnte ich im Dunkeln und im Kopf lösen:

Wenn der große Kreis einen Radius von Eins hat, dann hat die grüne Linie vom Mittelpunkt bis zur Ecke eine Länge von Wurzel Zwei. Für den kleinen Kreis gilt mit derselben Überlegung, dass der Abstand seines Mittelpunktes zur Ecke Wurzel Zwei mal r ist. Also gilt:

 \sqrt{ 2 } = 1 + ( 1 + \sqrt{ 2 } ) * r

Das ergibt:

 r = { \frac{ \sqrt{ 2 }  - 1 }{ \sqrt{ 2 } + 1 } }

Das war leicht. Nach dem Aufstehen konnte ich dann auch die Eingangsaufgabe schnell lösen:

Die dunkelblaue Linie hat, wie schon geschrieben, eine Länge von Wurzel Zwei und ist die Hypotenuse eines Dreiecks, bestehend aus ihr und den zwei hellblauen Linien mit der Länge Eins. Wie man leicht in der Zeichnung sehen kann, hat die lila Linie eine Länge von Wurzel Zwei durch Zwei. Da die Länge des Pfeils, bestehend aus der lila Linie und dem grünen Pfeil, der für den kleinen Radius steht, aber gleichzeitig der Radius des großen Kreises ist, erhält man:

  1 = r + \frac{ \sqrt{ 2 }} { 2 }

bzw.

 r = 1 - \frac{ \sqrt{ 2 }} { 2 }

Nach diesen beiden leichten Fingerübungen hatte ich Spaß an solchen Problemen gefunden und stellte mir eine echte Sangaku-Aufgabe:

Hier sind in ein Quadrat mit einer Seitenlänge von Eins zwei Kreisbögen mit dem Radius Eins eingezeichnet. In jedes der vier entstehenden Teilflächen lässt sich ein Kreis einzeichnen, zwei davon sind aus Symmetriegründen gleich groß, deshalb muss man nur drei Radien berechnen. Am leichtesten geht das mit r1:

Die rote Linie ist der Radius eines der beiden Bögen und deshalb Eins lang. Die Länge h des Dreiecks links unten, bestehend aus der schwarzen waagerechten und der grünen senkrechten Linie, ergibt sich mit dem Satz des Phytagoras zu:

 h^2 = {( \frac{ 1 } { 2 } )}^2 + r^2

Und für die rote Linie als Ganzes gilt:

  1 = r + h

Am besten stellt man diese Gleichung nach h um und quadriert sie:

  h^2 = { ( 1 - r ) }^2

Dann kann man die beiden oben stehenden Gleichungen gleich setzen:

  { ( 1 - r ) }^2 = {( \frac{ 1 } { 2 } )}^2 + r^2

Nach dem Auflösen der Klammer auf der linken Seite verschwindet der quadratische Term und man kann nach r umstellen:

  r_1 = \frac{ 3 } { 8 }

Das war leicht. Nur wenig schwerer ist der kleine Kreis oben:

Die grüne, blaue und schwarze Linie bilden ein rechtwinkliges Dreieck, für das man mit dem Pythagoras formulieren kann:

  h^2 = {( \frac{ 1 } { 2 } )}^2 + k^2

Dabei ist h um r länger als Eins und k um r kürzer als Eins, sodass sich ergibt:

 { ( 1 + r ) }^2 = {( \frac{ 1 } { 2 } )}^2 + { ( 1 - r ) }^2

Nach dem Auflösen verschwinden auch hier die quadratischen Glieder:

  1 + 2r + r^2 = \frac{ 1 } { 4 }  + 1 - 2r +r^2

Und das Umstellen nach r ergibt:

  r_2= \frac{ 1 } { 16 }

Die beiden äußeren Kreise sind etwas schwieriger:

Hier gilt im roten Dreieck nach Pythagoras zunächst:

  { h_1 }^2 = { k_1 }^2 + { k_2 }^2

h1 ist hier um r länger als 1 und k1 um r kürzer als Eins:

 { ( 1 + r ) }^2 = { ( 1 - r ) }^2 + { k_2 }^2

In dem blauen Dreieck ist die senkrechte Kathete gleich der Kathete k2 im roten Dreieck:

  { h_2 }^2 = r^2 + { k_2 }^2

Zusätzlich ist bekannt, dass h2 um r kürzer als Eins ist, weil die verlängerte blaue Linie gleichzeitig der Radius des rechten Bogens ist. Also gilt für die zweite Gleichung:

 { (1 - r ) }^2 = r^2 + { k_2 }^2

Nach k22 umgestellt:

  { k_2 }^2 = 1 - 2r

Das kann man in die erste Gleichung einsetzen:

 { ( 1 + r ) }^2 = { ( 1 - r ) }^2 + 1 - 2r

Auch hier verschwinden beim Auflösen der Klammern die quadratischen Terme:

  1 + 2r = 1 - 2r + 1 - 2r

Nach r umgestellt:

  r_3 = \frac{ 1 } { 6 }

Verblüffend fand ich im Nachhinein, dass sich nirgendwo ein π in die Rechnungen eingeschmuggelt hat. Und für die dritte Aufgabe gab es sogar drei rein rationale Lösungen für r1, r2 und r3!

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