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Peter Winkler: Mathematische Rätsel für Liebhaber

Das Buch habe ich im vorigen Jahr einem Bekannten zum Geburtstag geschenkt, der sich genau wie ich ab und zu für eine knifflige Aufgabe interessiert. Bei den meisten Aufgaben findet er nach einigem Nachdenken zumindest einen Lösungsansatz, bei der folgenden Aufgabe nicht:

Paula nimmt zwei Zettel und schreibt auf jeden eine ganze Zahl. Es gibt keine Einschränkungen für diese beiden Zahlen; sie müssen lediglich unterschiedlich sein. Dann verbirgt sie in jeder Hand einen Zettel.

Victor wählt eine Hand aus. Paula öffnet die Hand, so dass Victor die Zahl auf dem Blatt Papier sehen kann. Victor muss nun raten, ob diese Zahl die größere oder die kleinere von Paulas Zahlen ist. Wenn er richtig rät, gewinnt er einen Euro; ansonsten verliert er einen Euro

Natürlich kann Victor in diesem Spiel Gleichstand erreichen indem er beispielsweise eine Münze wirft, um sich für „größer“ oder „kleiner“ zu entscheiden. Die Frage ist: Wenn er Paulas Psyche nicht kennt, gibt es dann eine Möglichkeit, mehr als ein Unentschieden zu erreichen?

Das Besondere ist jetzt nicht einmal, dass er keinen Lösungsansatz gefunden hat, sondern, dass er nicht einmal die im Buch auf einer der folgenden Seiten abgedruckte Lösung verstehen konnte:

Vor dem Spiel wählt Victor eine Wahrscheinlichkeitsverteilung der ganzen Zahlen aus, die jeder Zahl eine positive Wahrscheinlichkeit zuweist. (Beispielsweise plant er, so lange eine Münze zu werfen, bis „Kopf“ erscheint. Wenn er eine gerade Anzahl 2k an „Zahl“ sieht, dann wählt er die ganze Zahl k; wenn er 2k-1-mal „Zahl“ sieht, dann wählt er —k.)

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Nachdem Paula ihre Zahlen ausgewählt hat, wählt Victor eine ganze Zahl gemäß seiner Wahrscheinlichkeitsverteilung und addiert 1/2 hinzu; dies wird sein „Grenzwert“ t. Wenn er beispielsweise unter Verwendung der obigen Verteilung fünfmal Zahl wirft, bevor Kopf kommt, dann beträgt seine Zufallszahl -3, und sein Grenzwert t ist -2 1/2.

Wenn Paula ihre Hände zeigt, wirft Victor eine faire Münze, um zu entscheiden, welche Hand er wählt; dann schaut er sich die Zahl in dieser Hand an. Wenn sie größer als t ist, dann vermutet er, dass sie die größere von Paulas Zahlen ist. Ist sie kleiner als t, dann nimmt er an, dass sie die klein* von Paulas Zahlen ist.

Alles klar? Ich habe die Lösung auch nicht verstanden, nachdem ich sie gelesen hatte. Aber irgendwie hatte ich eine dunkle Ahnung, woraus der Kern der Lösung besteht, auch wenn mir mein Bekannter an diesem Tag meine verschwurbelte Erklärung nicht geglaubt hat. Aber am nächsten Tag konnte ich ihm meinen eigenen Ansatz präsentieren, der vermutlich auf derselben Grundidee wie im Buch beruht:

Wie in der Originalaufgabe wählt Paula zwei Zahlen p und q aus, dieses Mal aber aus dem Bereich zwischen null und eins. q sei dabei größer als p. Sie schreibt beide Zahlen auf getrennte Zettel. Victor darf einen Zettel ziehen, auf dem dann entweder die Zahl p oder die Zahl q steht. Nun soll er entscheiden, ob es die größere oder die kleinere der beiden Zahlen ist.

Zum Treffen seiner Entscheidung verwendet Victor eine Zufallszahl r, die ebenfalls im Intervall zwischen null und eins liegt. Ist diese Zahl r kleiner als die von ihm gezogene Zahl, nimmt er an, dass Paulas zweite Zahl kleiner als die erste ist. Ist r größer als die gezogene erste Zahl, dann soll die zweite Zahl größer sein. Wie kann man jetzt zeigen, dass Victors Trefferrate größer als 50% ist? Die Wahrscheinlichkeit, dass Victor richtig liege, sei mit w bezeichet. Die Lösung wird jetzt stückweise entwickelt:

Mit 50% Wahrscheinlichkeit zieht Victor als erste Zahl die Zahl p:

 w = {{1} \over {2}}

Die Zahl p liegt fest, aber r ist eine (gleichverteilte) Zufallszahl. Mit einer Wahrscheinlichkeit von p ist sie kleiner als p, mit einer Wahrscheinlichkeit von 1-p ist sie größer. Wenn sie kleiner ist als p, nimmt Victor an, dass die zweite Zahl kleiner ist, er liegt damit falsch. Nur wenn r größer ist als p, rät er richtig:

 w = {{1} \over {2}} * ( 1 - p )

Mit 50% Wahrscheinlichkeit zieht Victor als erste Zahl die Zahl q:

 w = {{1} \over {2}} * ( 1 - p ) + {{1} \over {2}}

Mit einer Wahrscheinlichkeit von q ist r kleiner als p, mit einer Wahrscheinlichkeit von 1-q ist sie größer. Wenn sie kleiner ist als q, nimmt Victor an, dass die zweite Zahl kleiner ist, in diesem Fall liegt er damit richtig. Wenn r größer ist als q, rät er falsch:

 w = {{1} \over {2}} * ( 1 - p ) + {{1} \over {2}} * q

Diese Gleichung wird noch zweimal umgeformt. Zuerst wird der Faktor ½ vorgezogen, dann wird eine neue Variable ε eingeführt:

q = p + 2 * \epsilon

Man erhält:

 w ={{1} \over {2}}  + \epsilon

Das ist das Fazit: Mit dem zufälligen Setzen eines Schwellwertes r zur Entscheidung erzielt man tatsächlich eine bessere Wahrscheinlichkeit als 50%. Das Ergebnis ist umso besser für Victor, je mehr sich die beiden Zahlen p und q voneinander unterscheiden. Aber kann man dieses Ergebnis auch grafisch erklären?

Die Zufallszahl r kann in eines der drei Intervalle r1, r2 oder r3 fallen. Liegt r im Intervall r1, dann sind sowohl p als auch q größer als r. Victor denkt von der zweiten Zahl, dass sie kleiner ist. Im Fall von q als erster Zahl liegt er damit richtig, im Fall von p falsch. Beide Fälle heben sich gegenseitig auf, weil mit gleicher Wahrscheinlichkeit p oder q als erste Zahl gewählt werden kann.

Genau dieselbe Überlegung gilt für r3. Auch hier heben sich richtiges und falsches Vorhersagen gegenseitig auf. Liegt r aber im Intervall r2, dann rät Victor immer richtig: r ist größer als p als erste Zahl, folglich vermutet Victor, dass die folgende Zahl größer ist – und q ist tatsächlich größer als p. r ist kleiner als q als erste Zahl, folglich vermutet Victor eine kleinere zweite Zahl – und p ist in der Tat kleiner als q.

Wie kann man das Ergebnis dieser Aufgabe im Intervall [0,1] auf die Originalaufgabe mit Zahlen im Bereich [-∞,+∞] übertragen? Das Intervall r1 enthält dann unendlich viele Zahlen, alle zwischen -∞ und p. Dasselbe gilt für das Intervall zwischen q und +∞, auch hier gibt es unendlich viele Zahlen. Nur das Intervall zwischen p und q bleibt endlich. Weil p und q zwei wohldefinierte (weil aufschreibbare) Zahlen enthält, können zwischen p und q nur endlich viele Zahlen liegen.

Das bedeutet, das ε in der Gleichung der Wahrscheinlichkeit gegen null geht, wenn die Grenzen des Intervalls, aus dem die Zahlen gewählt werden dürfen, gegen ±∞ gehen. Nur theoretisch ist die Wahrscheinlichkeit größer 50%, unsere praktische Intuition ist aber richtig, wir können nur zufällig auf die zweite Zahl schließen.

Praktisch hat man trotzdem eine Chance – wenn man auf die in der Aufgabenstellung explizit ausgeschlossene Psychologie setzt. In unserem Kulturkreis schreibt man von links nach rechts und ordnet Zahlen der Größe nach ebenfalls von links nach rechts. Ich würde also in einem solchen Experiment darauf wetten, dass sich in der linken Hand der Zettel mit der kleineren Zahl befindet. Aber, wenn mein Gegenüber (zum Beispiel aufgrund dieses Artikels hier) vermutet, dass ich die kleinere Zahl in der linken Hand vermute, dann wird er… Aber wenn ich vermute, dass er vermutet, dass ich vermute… ad infinitum 😉

KategorienMathematik, Rezensionen Tags:
  1. Ralf Holger
    17. März 2015, 21:25 | #1

    Das Gleiche wird noch verständlicher, wenn Mehrfacheinsätze zulässig sind und ich nach Wahrscheinlichkeiten wichte. Angenommen p=0,8 und q=0,9. Ich ziehe zufällig die 0,8, also habe ich 80% Wahrscheinlichkeit, dass q kleiner ist. Ich setze 8 Münzen auf kleiner und 2 auf größer. Von meinen 10 Münzen habe ich nun 6 verloren. Im anderen Fall, wo ich die 0,9 ziehe, habe ich 90% Wahrscheinlichkeit das q größer ist. Also setze ich 9 Münzen auf größer und eine auf kleiner. Ich gewinne 8 Münzen hinzu. Pro Spiel kann ich beim Abstand von 10% des Gesamtintervalls 10% meines Einsatzes gewinnen. Ein schönes Beispiel für die Spieletheorie.

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