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Mathematik der Arbeitsteilung

Vor einiger Zeit habe ich einen Artikel gelesen, in dem überzeugend dargelegt wurde, dass Arbeitsteilung selbst dann für beide Seiten vorteilhaft ist, wenn eine Seite alles besser als die andere kann. Ein entsprechendes Rechenbeispiel:

Tabelle 1

  X Y
A 0.5h 0.3h
B 0.6h 1.0h


Mensch A benötigt zur Produktion von X 0.5h und zur Produktion von Y 0.3h. Mensch B ist mit beiden Produktionen langsamer, er benötigt jeweils 0.6h und 1.0h. Wenn beide allein vor sich hin werkeln, dann benötigen sie, um für sich jeweil X und Y herzustellen:

Fall 0:

tA = tAX + tAY = 0.8h
tB = tBX + tBY = 1.6h
tAB = tA + tB = 2.4h

Die interessante Aussage in dem Artikel, den ich damals gelesen hatte, war, dass es auch für A von Vorteil ist, wenn er Produkt X von Mensch B produzieren lässt, obwohl dieser dafür länger braucht. Wie die folgende Rechnung zeigt, profitieren vom wechselseitigen Austausch tatsächlich beide:

Fall 1:

tA = 2 * tAY = 0.6h
tB = 2 * tBX = 1.2h
tAB = tA + tB = 1.8h

A und B behalten jeweils eines ihrer identischen Produkte selbst und tauschen das andere gegen eins ihres Handelspartners. Eine Win-Win-Situation.

Ich habe überlegt, ob es Situationen gibt, in denen dieses Modell nicht stimmt. Und tatsächlich findet man recht leicht eins:

Tabelle 2

  X Y
A 0.5h 0.3h
B 1.0h 0.6h

Der Unterschied zur Tabelle 1 besteht jetzt darin, dass B für beide Produkte doppelt so lange braucht wie A. Ohne Arbeitsteilung ändert sich aber nichts, da sich die Summe der Zeiten in einer Zeile nicht geändert hat.

Wenn jetzt A und B beschließen zu kooperieren und Produkte auszutauschen, gibt es zwei Fälle: A kann entweder 2X oder 2Y herstellen und B entsprechend die Komplemente. Das ergibt:

Fall 2a:

tA = 2 * tAY = 0.6h
tB = 2 * tBX = 2.0h
tAB = tA + tB = 2.6h

Fall 2b:

tA = 2 * tAX = 1.0h
tB = 2 * tBY = 1.2h
tAB = tA + tB = 2.2h

Jetzt liegt offensichtlich ein Interessenkonflikt vor: Um die Gesamtproduktionszeit zu minimieren, müsste A mehr arbeiten, als wenn er allein produzieren und konsumieren könnte. Für ihn wäre es vorteilhaft, wenn er sich aus der Solidargemeinschaft verabschieden könnte. Für die Gesellschaft als Ganzes entstünde ein Schaden, für den Schwächeren sowieso.

Schaut man sich die beiden Fälle 1 und 2 noch einmal nach Gemeinsamkeiten an, dann fällt auf, dass es in beiden Fällen für die gesamte Gesellschaft die beste Lösung wäre, wenn der Schwächere die Entscheidung über die Arbeitsteilung trifft und nicht der sogenannte Leistungsträger. Weil die Entscheidung des Schwächeren optimal für die gesamte Gesellschaft wäre und nicht bloß für sich selbst. Der tieferliegende Grund ist auch recht leicht zu finden: Eine prozentual gleiche Steigerung der Produktivität hat bei einer schwächeren Ausgangsleistung einen größeren Effekt (hier sichtbar an der benötigten Arbeitszeit).

KategorienGesellschaft, Logik Tags:
  1. 25. März 2013, 11:38 | #1

    Wer gründlich über Arbeitsteilung nachdenken will, sollte mit der Zweiteilung einer Arbeit beginnen.
    Adam Smith hat mit seinem Stecknadel-Beispiel den 2. Schritt vor dem ersten gemacht.
    David Ricardo hat dagegen mit seinem Beispiel der Zweiteilung den richtigen Ansatz, aber mit dem Bezug auf die Länder England und Portugal mit nationalen Durchschnittswerten die falsche Richtung eingeschlagen.
    Besser wäre ein Beispiel mit zwei Produzenten aus einer überschaubaren Region gewesen.
    Sie optimieren durch Arbeitsteilung ihre Produktion, indem sie mit dem richtigen Austauschverhältnis ihren Aufwand minimieren bzw. ihre arbeitsteilige Einsparung maximieren.
    Es handelt sich also um ein Extremwertproblem.
    Letztlich erhält man als allgemein gültigen optimalen Austauschfaktor nicht das arithmetische sondern das Geometrische Mittel der beiden ursprünglichen Aufwandsverhältnisse.
    Daraus kann dann die Mathematik der Arbeitsteilung weiter entwickelt werden.
    Das Fehlen dieser Theorie ist eine nicht unwichtige Ursache für die Verwirrung in Theorie und Praxis der menschlichen Wirtschaft.

  2. 30. März 2013, 20:54 | #2

    Tabelle 1 und 2 unterscheiden sich darin, dass bei Tab.1 ungleiche und bei Tab. 2 gleiche Aufwandsverhältnisse vorliegen.
    Bei allen Beispielen mit ungleichen Verhältnissen sind beidseitige Einsparungen möglich.
    Bei Beispielen mit gleichen Aufwandsverhältnissen sind nur einseitige zu Lasten des anderen gehende Aufwandseinsparungen möglich.
    „Wo Gleichheit ist, ist kein (beidseitiger/GPL) Gewinn“/ Galiani
    Verallgemeinert erzeugt ein Verhältnis der Verhältnisse wie bei Tab.1 von 0,36 bei optimaler Arbeitsteilung beidseitig je 40% Einsparung an Aufwand im Vergleich zwischen selbst- und arbeitsteiliger Versorgung.
    Eine bessere und gerechtere Umverteilung ist nicht möglich.

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