Home > Alltag, Mathematik > Lämpels Kralle

Lämpels Kralle

    In Bild der Wissenschaft veröffentlicht Heinrich Hemme in jeder Ausgabe eine Aufgabe, die immer in eine nette Geschichte verpackt ist. In der Schule ging es früher etwas prosaischer und kürzer zu, da hieß es Textaufgabe und war meistens langweilig und schematisch zu lösen. Die folgende Aufgabe im Märzheft von 2014 hat mich etwas an ein Sangaku erinnert:

    Ich brauche für solche Aufgaben meist nicht lang, hier vielleicht 10 Minuten, aber ich finde sie immer wieder recht unterhaltsam. Die Aufgabe:

    1. Es sind zwei Kreise ineinander gebettet, wobei sich die Größe des kleineren Kreises daraus ergibt, dass ein Kreissegment des größeren Kreises nach innen geklappt ist und den kleineren Kreis begrenzt.

    2. Die Höhe des Segments ist dadurch gegeben, dass ein rechter Winkel, beginnend vom Mittelpunkt des größeren Kreises, den Kreis in zwei Punkten schneidet.

    3. Als absolutes Maß ist bekannt, dass im kleineren Kreis ein Quadrat mit einer Fläche von 1m2 liegt.

    4. Die rote Fläche soll berechnet werden. – Daher auch der Name der Aufgabe, die Lehrer Lämpel gestellt hat: Es soll eine Kralle darstellen, die das Quadrat „umkrallt“.

    Zur Bemaßung hier nochmals eine eigene Skizze:

    Hier die Lösung

    Zunächst berechnet man die Höhe des Kreissegments a. Das ist in diesem Fall durch den rechten Winkel (Punkt 2) einfach:

     a = R - R { { \sqrt{2} }  \over { 2 } } = R ( 1 - { { \sqrt{2} }  \over { 2 } } )

    Der Durchmesser des kleinen Kreises ist der des großen, vermindert um 2a. Für den Radius ergibt sich natürlich genau die Hälfte, also:

     r = R - a = R - R ( 1 - { { \sqrt{2} }  \over { 2 } } ) = R { { \sqrt{2} }  \over { 2 } }

    Die Diagonale in dem Quadrat, das in dem kleinen Kreis liegt, hat eine Größe von 2r. Mit dem Pythagoras gilt für h:

     h^2 + h^2 = { ( 2 r ) }^2

     h = { \sqrt { 2 } } r = R

    Dieses Ergebnis ist einigermaßen verblüffend, aber man kann sich in der fast maßstäblichen Zeichnung oben selbst überzeugen! Für die Fläche der Kralle müssen von der Fläche des großen Kreises die Fläche des kleinen und zweimal die eines Kreissegments mit der Höhe a abgezogen werden.

    Für letztere muss man aber nicht die komplizierte Formel eines solchen Segments bemühen, es geht viel einfacher, denn die Fläche des Kreissegments ergibt sich aus der eines Viertelkreises, vermindert um den Flächeninhalt eines rechtwinkligen und gleichschenkligen Dreiecks mit der Schenkellänge R:

     A_a = { { \pi R^2 } \over { 4 } } - { { R^2 } \over { 2 } } = { { { ( \pi - 2 ) R^2 } }\over { 4 } }

    Für die Krallenfläche wird angesetzt:

     A_K = A_R - A_r - 2 A_a

    Die Einzelflächen der beiden Kreise:

     A_R = \pi R^2

     A_r = \pi r^2 = { { \pi R^2 } \over { 2 } }

    Alles eingesetzt:

     A_K = \pi R^2 -  { { \pi R^2 } \over { 2 } } - { { { ( \pi - 2 ) R^2 } }\over { 2 } }

    Das Ergebnis nach dem Ausmultiplizieren ist einigermaßen verblüffend:

     A_K = R^2

    Das hat man sicher nicht oft, dass bei Aufgaben am Kreis das Π verschwindet. In diesem Fall beinahe noch verblüffender ist, da h = R, dass die Fläche des Quadrats genau gleich der Fläche der Kralle ist.

KategorienAlltag, Mathematik Tags:
  1. Bisher keine Kommentare
  1. Bisher keine Trackbacks