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Geschichten aus der Mathematik

Der Satz des Pythagoras gehört zu den Klassikern, kein Schüler kommt daran vorbei. Ich weiß nicht, ob im Unterricht auch ein Beweis gezeigt wird. Wenn man danach googelt, dann findet man, dass der Satz des Pythagoras mit dem Höhen- und dem Kathedensatz bewiesen werden kann. Besonders anschaulich ist das nicht und wie werden diese beiden Sätze dann bewiesen? Ich habe mir den folgenden geometrischen Beweis gemerkt:



Man zeichnet zwei Quadrate ineinander, wobei die Eckpunkte des inneren, verdrehten Quadrats auf den Seiten des äußeren liegen. Außen entstehen in dieser Zeichnung vier Dreiecke. Man erkennt leicht, dass es a) vier gleiche Dreiecke und sie b) rechtwinklig sind. Man kann jetzt die Seiten so bezeichnen, wie sie im Satz des Pythagoras benannt werden: Die Hypotenuse sei „c“, die beiden Katheten „a“ und „b“. Die Fläche des äußeren Quadrats kann auf zwei verschiedene Arten berechnet werden. Entweder man berechnet die Fläche des großen Quadrates mit:

A = (a + b)2

Oder man berechnet die Fläche aus der Summe des inneren kleineren Quadrats und der vier Dreiecke:

A = 4*(a*b)/2 + c2 = 2*a*b + c2

Natürlich müssen die berechneten Flächen identisch sein, man kann sie gleichsetzen:

(a + b)2 = 2*a*b + c2

Multipliziert man das Binom auf der linken Seite aus und subtrahiert auf beiden Seiten den Term 2*a*b, dann bleibt tatsächlich der Satz des Pythagoras stehen:

a2 + b2 = c2

Nicht bewiesen wurde in dieser Herleitung die Gleichung für die Fläche des Dreiecks (a*b)/2. Das geht sicher recht leicht, indem man sich ein Bildchen mit einem Rechteck mit den Seiten „a“ und „b“ vorstellt und in dieses die Diagonale einzeichnet und sie „c“ nennt. Wie man jetzt allerdings beweist, dass die Fläche des Rechtecks a*b ist, weiß ich auch nicht.

An diesen kleinen Beweis habe ich mich erinnert, als ich das Spektrum-Spezial-Heft „Geschichten aus der Mathematik“ gelesen habe. Dort werden Kurzbiografien berühmter Mathematiker vorgestellt. Eine der Personen ist Leonardo da Vinci, und dessen Beweis ist in einer Abbildung dargestellt, allerdings ohne sie im Text näher zu erläutern:

Natürlich versteht man es, wenn man genauer hinsieht. Die graue und die farbige Fläche in der mittleren und der rechten Abbildung sind gleich, nur anders zusammengesetzt. Und in beiden steckt zweimal die Originalfläche des Dreiecks drin. Zieht man die ab, bleibt wieder der Satz des Pythagoras übrig. Es soll über 50 verschiedene Beweise des Satzes des Pythagoras geben, googelt man danach, wird man mit Links zugeschüttet.

Das Konzept des Spektrum-Heftes ist recht originell. Man hat eine Idee von Heinz Klaus Strick aufgegriffen, der Mathematik- und Physiklehrer und Schulleiter am Landrat-Lucas-Gymnasium in Leverkusen war. Dieser hat Briefmarken mit Abbildungen berühmter Mathematiker gesammelt und Kalenderblätter mit Mathematikergeschichten veröffentlicht. Spektrum hat diese hier dupliziert, der originale Link zum Gymnasium ist dieser.

In dem Kapitel, das Archimedes gewidmet ist, findet man eine Abbildung des Arbelos:

Zwei sich berührende (Halb)Kreise werden von einem weiteren (Halb)Kreis umschlossen. Archimedes konnte offenbar als erster zeigen, dass

  • in der oberen Abbildung die graue Fläche gleich der vom roten Kreis eingeschlossenen Fläche ist,
  • in der unteren Abbildung die beiden kleinen Kreise gleich groß sind.

Das gilt offenbar unabhängig vom Größenverhältnis der beiden Ursprungskreise, die von dem großen Kreis umfasst werden. Der Arbelos-Link zeigt weitere verblüffende Eigenschaften dieser geometrischen Figur.

In dem Spektrum-Spezial-Heft stößt man in dem Abschnitt über den Mathematiker Seki Kowa auf den Begriff Tempelgeometrie (überhaupt gibt es im Heft eine Reihe von Artikeln über östliche Mathematiker, die mir zuvor unbekannt waren). Eine charakteristische Aufgabe aus diesem Gebiet:

Man bestimme die Größe der beiden Kreise! Ein Bekannter hat diesen Typ von Aufgaben als Sangaku bezeichnet und gleich einen ganzen Sack von ihnen mit wachsenden Schwierigkeitsgraden gezeichnet:

Die Aufgabe in allen Fällen ist natürlich klar. Man bestimme die Größe des roten Kreises. Glücklicherweise hat der Bekannte auch einen Link mit ein bisschen Theorie dazu parat gehabt: Sangaku.pdf.

Kommentare

ostfriese 08/29/2009 03:17:38 PM

Randbemerkung: Es ist ein fragwürdiges Unterfangen, Pythagoras-Beweise zählen zu wollen, denn es gibt bereits unendlich viele verschiedene Flächenzerlegungsbeweise, wie folgendes Applet anschaulich zeigt: http://www.ies.co.jp/math/java/geo/pythashi/pythashi.html

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