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Die Kreise des Arbelos II

Im vorhergehenden Artikel Die Kreise des Arbelos I wurde die Größe einiger Kreise hergeleitet, die bereits Archimedes bekannt gewesen sein sollen. Im 20. Jahrhundert wurden von Leon Bankoff zwei weitere Kreise mit derselben Größe im Arbelos gefunden, die heute seinen Namen tragen, die Bankoff-Kreise. Über Bankoff liest man einige ungewöhnliche Dinge: Er arbeitete 60 Jahre als Zahnarzt und war nebenbei Mathematiker. Seine Erdös-Zahl ist null.

Die Erdös-Zahl motiviert mich zu einem kurzen Abschweifen zu den beiden Begriffen „notwendig“ und „hinreichend“. Die Erdös-Zahl gibt an, wie nahe bekannt ein Mathematiker mit Paul Erdös gewesen ist, einem der produktivsten Mathematiker des 20. Jahrhunderts. Wenn jemand zusammen mit Erdös einen Artikel publiziert hat, dann erhält er die Erdös-Zahl null. Wenn jemand mit Erdös keinen Artikel veröffentlicht hat, aber mit jemand anderem, der wiederum mit Erdös publiziert hat, dann hat er die Erdös-Zahl eins, usw. Ein ähnliches Spiel gibt es heute in der Wikipedia: Man nimmt zwei beliebige Artikel in der Wikipedia und versucht die minimale Anzahl von Klicks auf Links zu ermitteln, um von der ersten auf die zweite Seite zu gelangen.

Bis vor einiger Zeit war ich noch der Meinung, wenn etwas für einen Sachverhalt hinreichend ist, muss es für den Sachverhalt auch notwendig gewesen sein. Zum Beispiel, wenn zwei Menschen zusammen ein Kind haben (hinreichend), müssen sie sich vorher getroffen haben (notwendig). Dieser Zusammenhang zwischen notwendig und hinreichend zeigt sich immer, wenn ein bestimmtes Ereignis von genau einer Ursache abhängt. Es gibt aber auch andere Fälle. Wenn jemand eine Erdös-Zahl von null hat, dann ist das hinreichend dafür, dass er ein guter Mathematiker ist. Aber es ist nicht notwendig, eine Erdös-Zahl von null zu haben, um ein guter Mathematiker zu sein. Ein weiteres Beispiel: Um reich zu sein, ist es hinreichend, viel Geld zu besitzen. Aber es ist nicht notwendig, viel Geld zu erben. Man kann auch im Lotto gewinnen. Wenn es mehrere Ursachen dafür gibt, hinreichend viel Geld zu besitzen, ist nur eine notwendig, aber keine bestimmte und auch nicht alle von ihnen.

Zurück zu den Bankoff-Kreisen. Der erste entsteht, indem man an die beiden kleineren Halbkreise des Arbelos eine Tangente anlegt und den größtmöglichen Kreis zwischen diese Tangente und den großen Halbkreis quetscht.

Wie kann man jetzt dessen Größe berechnen? Zunächst muss man offenbar die Parameter der Tangente bestimmen. In der Schule lernt man, dass eine Gerade in der Ebene durch zwei Parameter bestimmt ist. Bei Verwendung der Geradengleichung y=ax+b wären das der Anstieg a und der Schnittpunkt der Gerade mit der x-Achse b. Um zwei Parameter zu bestimmen, benötigt man zwei Bestimmungsstücke in der entsprechenden Aufgabe:

Die Tangente berührt die beiden Kreise jeweils genau in einem Punkt. Zeichnet man eine Verbindungslinie zwischen diesem Punkt und dem Mittelpunkt des betreffenden Kreises, dann hat diese Strecke erstens die Länge des Radius dieses Kreises und zweitens gibt es jeweils einen rechten Winkel zwischen der Tangente und dem Radius. Deshalb sind die Strecken, in der Zeichnung hier mit „b“ und „c“ bezeichnet, parallel zueinander.

Der zu findende Kreis zwischen der Tangente und dem großen Kreis darf beide ebenfalls nur in jeweils einem Punkt berühren, um die maximale Größe zu erreichen. Will man die maximale Größe dieses Kreises erreichen, ist die Tangente an den großen Kreis parallel zu der bereits eingezeichneten Tangente an die beiden kleineren Kreise. Zeichnet man hier den Radius „a“ für den großen Kreis so ein, dass er den Kreis am Berührungspunkt trifft, dann schneidet er aufgrund der Parallelität beider Tangenten auch die erste Tangente unter einem rechten Winkel.

Das Witzige an der bestehenden Aufgabe besteht deshalb darin, dass man die Geradenparameter der Tangente überhaupt nicht explizit bestimmen muss, aufgrund der drei rechten Winkel zwischen den drei Strecken und der Tangente sind die Strecken parallel zueinander und es kann mit dem Strahlensatz gerechnet werden. Man kann für die Bestimmung der Länge der Strecke g zwischen dem Mittelpunkt A des großen Kreises und der Tangente ansetzen:

 {{ b - g } \over { x_1 }} = {{ g - c } \over { x_2 }}

mit

 x_1 = a - b

 x_2 = 2 b + c - a

 a = b + c

Man kann diese drei Gleichungen in den Strahlenansatz einsetzen und nach g umstellen. Man erhält:

 g = {{ b^2 + c^2 } \over { b + c }}

Diesen Ausdruck für g setzt man in die Gleichung

 a = g + 2 f

ein, berücksichtigt a=b+c und stellt nach dem gesuchten Radius f des Kreises um:

 f = {{ b c } \over { b + c }}

Das ist dasselbe Ergebnis, welches sich bereits für die beiden Kreise von Archimedes ergeben hat. Bankoff hat seine beiden Kreise in den Jahren 1954 und 1974 veröffentlicht. Ich weiß nicht, in welcher Reihenfolge, aber die Berechnungen an dem zweiten Kreis sind schwieriger und hier ist mir noch weniger klar, wie man auf solche verrückten Zusammenhänge kommen kann:

Bei dieser Aufgabenstellung wird zunächst der blaue Kreis mit dem Radius k gesucht, der an jeweils einer Stelle die drei gegebenen Halbkreise berührt. Der rote Kreis mit dem Radius l wiederum wird bestimmt aus den beiden Berührungspunkten des blauen Kreises mit den beiden kleinen Halbkreisen und dem Berührungspunkt der beiden Halbkreise mit sich und der x-Achse. Wie sich zeigen lässt, hat auch hier der rote Kreis die Größe der Archimedischen Kreise!

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