Home > Mathematik > Die Kreise des Arbelos I

Die Kreise des Arbelos I

Bereits vor langer Zeit bin ich auf den Arbelos gestoßen. In dieser Figur sind drei (Halb)Kreise ineinander geschachtelt. Die Mittelpunkte liegen auf einer Geraden, die Summe der Radien (oder der Durchmesser) der beiden kleineren Kreise ergibt die entsprechende Größe des umschließenden.

 a = b + c

Archimedes hat herausgefunden, dass die Fläche des Kreises, den man über der Höhe zeichnen kann, gleich der Fläche des großen Halbkreises, vermindert um die beiden Flächen der kleinen Halbkreise, ist. Also in der folgenden Zeichnung ist der Flächeninhalt des roten Kreises gleich der roten Fläche in der ersten Abbildung oben.

Der Beweis lässt sich hier sehr einfach führen. Man muss eigentlich nur voraussetzen, dass der Satz des Pythagoras gilt. Nebenbei beweist man damit auch die Gültigkeit des Höhensatzes im rechtwinkligen Dreieck.

Hier gilt für die rechtwinkligen Dreiecke mho, nhp und mnop:

 o^2 = m^2 + h^2

 p^2 = n^2 + h^2

 {(m + n)}^2 = o^2 + p^2

Setzt man die ersten beiden Gleichungen in die dritte ein, multipliziert dort die Klammer aus und entfernt die überflüssigen Terme, dann bleibt der Höhensatz stehen:

 mn = h^2

Wenn man hier noch Pi einbezieht, bekommt man sofort den Zusammenhang der Flächen, den Archimedes gefunden hat. Wenn ein halb Pi mal einer der Radien zum Quadrat gleich der Fläche eines der Halbkreise ist, dann gilt mit den Durchmessern:

 {{1}\over{8}} \pi {(m + n)}^2 = {{1}\over{8}} \pi m^2 + {{2}\over{8}} \pi mn + {{1}\over{8}} \pi n^2

In dieser Gleichung kann man, um zu den gegebenen Größen zurückzukehren, den Durchmesser m des großen Halbkreises durch 2b, den Durchmesser n des kleinen Halbkreises durch 2c und den des beide umschließenden Halbkreises m+n durch 2a ersetzen. Und für mn wurde ja gerade über den Höhensatz h2 gezeigt:

{{1}\over{2}} \pi a^2 = {{1}\over{2}} \pi b^2 + {{1}\over{4}} \pi h^2 + {{1}\over{2}} \pi c^2

Und das ist genau die Erkenntnis von Archimedes: Die Terme mit a, b und c sind die Flächen der drei Halbkreise, der Term mit h die Fläche des roten Kreises. wzbw!

Viel verblüffender aber ist, dass bereits Archimedes (oder einer seiner Zeitgenossen, wer will das heute noch so genau wissen) auch von den zwei nächsten Kreisen zeigen konnte, dass sie gleich groß sind:

Denkt man sich in die Aufgabenstellung hinein, dann erkennt man als Erstes, dass von jedem Kreis drei Größen unbekannt sind: Die Koordinaten x und y des Mittelpunktes und jeweils d und e als die Radien. Es werden also drei Gleichungen benötigt, die diese Größen enthalten.

Für den linken Kreis erkennt man, dass er von der senkrechten Trennlinie den Abstand d hat. Außerdem muss der Kreismittelpunkt auf einem Kreis mit dem Radius b+d liegen, denn er hat vom Kreis mit dem Radius b einen Abstand von d. Und letztendlich muss dieser Mittelpunkt auf einem Kreis mit dem Radius a-d liegen, denn er liegt ja innerhalb des großen a-Kreises. Das zu lösende Gleichungssystem für den d-Kreis besteht also aus einer Geraden- und zwei Kreisgleichungen. Leider habe ich in der Zeichnung vergessen, die Koordinaten der Mittelpunkte des a- und des b-Kreises einzuzeichnen:

 x = 2 a - d

 {( x - b )}^2 + y^2 = {( b + d )}^2

 {( x - a )}^2 + y^2 = {( a - d )}^2

Dieses Gleichungssystem lässt sich recht einfach lösen, indem man folgende Schritte ausführt:

  1. Man ersetzt a durch b+c.
  2. Man setzt die erste Gleichung in die beiden anderen ein. Das eliminiert x.
  3. Man subtrahiert die zweite und die dritte Gleichung voneinander. Das eliminiert y2 und alle quadratischen Terme. Es gibt deshalb für den Radius nur eine Lösung.

Es verbleibt eine einzige Gleichung mit dem unbekannten Radius d. Durch Umstellen erhält man:

 d = {{b c}\over{b + c}}

Eigentlich kann man an dieser Stelle bereits aufhören, denn man erkennt die Symmetrie bzgl. b und c in der Gleichung. Für den Radius e des zweiten Kreise *muss* man deshalb dasselbe Ergebnis erhalten. Aber der Vollständigkeit halber hier das zweite Gleichungssystem, dass bzgl. e zu genau derselben Lösung führt:

 x = 2 a + e

 {( x - 2 b - c )}^2 + y^2 = {( c + e )}^2

 {( x - a )}^2 + y^2 = {( a - e )}^2

Mit letztlich:

 e = {{b c}\over{b + c}}

Eine Frage, die sich mir immer wieder aufdrängt, ist: Wie kommt man zu solchen Erkenntnissen? Es ist ziemlich leicht, die Berechnungen nachzuvollziehen, wenn man das Ergebnis bereits kennt. Aber die Vermutung zu haben und zu beweisen, ist etwas ganz anderes! Das macht den Unterschied aus zwischen einem Archimedes oder einem Einstein und einem Hobbymathematiker bzw. -physiker.

Im 20. Jahrhundert wurden noch zwei weitere Kreise mit demselben Radius wie die archimedischen Kreise am Arbelos gefunden, das wird das Thema eines weiteren Artikels sein. Hier war das Finden der Beweise und Berechnungen für mich um einiges schwieriger.

KategorienMathematik Tags: