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Archiv für die Kategorie ‘Mathematik’

Das Hutproblem

8. August 2015 Keine Kommentare

Vor ein paar Wochen habe ich aus dem Zeitschriftenladen ein „Spektrum Highlights“-Heft mitgenommen: „Mathematische Spiele und Strategien“. Einige der Aufgaben sind (für mich) so schwierig, dass sie sich nicht als Feierabend-Sofa-Lektüre eignen, ich habe sie inzwischen schon x-mal gelesen und verstehe sie immer noch nicht vollständig. Einige alte Bekannte habe ich auch gefunden und dann letztendlich auch die schöne neue Aufgabe, um die es weiter unten gehen soll, das „Hutproblem“. Vielleicht zunächst zu den drei „alten Bekannten“.

Der Klassiker schlechthin ist natürlich das Ziegenproblem, das Marilyn vos Savant berühmt gemacht hat. Wegen ihrer Lösung wurde sie seinerzeit auch von Mathematikern beschimpft, u.a. wurde ihr geraten, sie solle doch nochmals ein Mathematikbuch in die Hand nehmen und ihre Wissenslücken aufarbeiten. Selbst einer der besten Mathematiker des 20. Jahrhunderts, Paul Erdös, hat die Lösung zunächst nicht geglaubt und musste erst durch eine Computersimulation(!) von der Richtigkeit überzeugt werden. Mit meinen eigenen Worten:

In einer Rateshow verbergen sich hinter drei Türen zwei Ziegen und ein Auto. Wenn Sie eine Tür öffnen und dahinter befindet sich eine Ziege, haben Sie verloren. Wenn Sie eine Tür öffnen und dahinter steht das Auto, dürfen Sie es behalten. Zunächst wählen Sie eine der drei Türen aus ohne sie zu öffnen. Danach öffnet der Quizmaster eine der beiden anderen Türen und zeigt Ihnen eine Ziege. Sollen Sie danach bei Ihrer ursprünglichen Wahl der ersten Tür bleiben oder auf die dritte Tür wechseln?

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Zahlenfolge aus Quersummen

21. März 2015 Keine Kommentare

Ein Bekannter erzählte mir von einer Zahlenfolge, die er sich in der Sauna überlegt hatte:

7, 5, 3, 1, 8, 6, 4, 2, 9, 7, 5, 3, 1, 8, …

Den anderen Saunagästen konnte er davon natürlich nichts erzählen, aber ich teile mit ihm ein gewisses Faible für Mathematik, schwierige Rätsel, und meistens haben wir auch denselben Humor. Ich sollte herausfinden, welchem Bildungsgesetz seine Folge gehorcht. Dieses Mal gelang es mir nicht. Deshalb verriet er mir, dass es die Quersummen der Vielfachen von sieben sind:

Z  7   14   21   28   35   42   49   56   63   70   … 
Q  7   5   3   10   8   6   13   11   9   7   … 
Q2  7   5   3   1   8   6   4   2   9   7 

In der ersten Zeile stehen die Zahlen in der Tabelle, in der zweiten die Quersummen. Der Clou seiner Zahlenfolge bestand nun darin, dass er, wenn die Quersumme selbst mehrstellig wurde, die Quersumme der Quersumme verwendet hat. Erst dadurch ergab sich das Muster der Folge. Ob das Muster seiner Folge auch bei größeren Zahlen erhalten bleibt, wusste er nicht, soviel hatte er in der Sauna also doch nicht rechnen können. Ich habe es mit ein paar größeren Zahlen probiert:

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Peter Winkler: Mathematische Rätsel für Liebhaber

14. März 2015 1 Kommentar

Das Buch habe ich im vorigen Jahr einem Bekannten zum Geburtstag geschenkt, der sich genau wie ich ab und zu für eine knifflige Aufgabe interessiert. Bei den meisten Aufgaben findet er nach einigem Nachdenken zumindest einen Lösungsansatz, bei der folgenden Aufgabe nicht:

Paula nimmt zwei Zettel und schreibt auf jeden eine ganze Zahl. Es gibt keine Einschränkungen für diese beiden Zahlen; sie müssen lediglich unterschiedlich sein. Dann verbirgt sie in jeder Hand einen Zettel.

Victor wählt eine Hand aus. Paula öffnet die Hand, so dass Victor die Zahl auf dem Blatt Papier sehen kann. Victor muss nun raten, ob diese Zahl die größere oder die kleinere von Paulas Zahlen ist. Wenn er richtig rät, gewinnt er einen Euro; ansonsten verliert er einen Euro

Natürlich kann Victor in diesem Spiel Gleichstand erreichen indem er beispielsweise eine Münze wirft, um sich für „größer“ oder „kleiner“ zu entscheiden. Die Frage ist: Wenn er Paulas Psyche nicht kennt, gibt es dann eine Möglichkeit, mehr als ein Unentschieden zu erreichen?

Das Besondere ist jetzt nicht einmal, dass er keinen Lösungsansatz gefunden hat, sondern, dass er nicht einmal die im Buch auf einer der folgenden Seiten abgedruckte Lösung verstehen konnte:

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Daniel Tammet: Die Poesie der Primzahlen

13. März 2015 Keine Kommentare

Daniel Tammet: Über Pythagoras wissen wir mit Sicherheit nur, dass er gar nicht Pythagoras hieß.

Unbekannte Hausfrau: Es gibt nichts, dessen Hälfte nichts wäre.

Ich habe das Buch „Die Poesie der Primzahlen“ von Daniel Tammet stückweise gelesen und danach erst mal beiseite gelegt. Immer wenn ich ein Buch später rezensieren will, befestige ich einige Klebezettel an Stellen, die mir erwähnenswert erscheinen. Nur meistens ist es so, dass mir der Zusammenhang entfällt, also warum ich die entsprechenden Stellen so bemerkenswert fand, wenn einige Zeit vergangen ist. So ist es mir auch dieses Mal gegangen, weil der Chileurlaub zwischen das Lesen und das Rezensieren fiel.

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Die Kreise des Arbelos II

26. September 2014 Keine Kommentare

Im vorhergehenden Artikel Die Kreise des Arbelos I wurde die Größe einiger Kreise hergeleitet, die bereits Archimedes bekannt gewesen sein sollen. Im 20. Jahrhundert wurden von Leon Bankoff zwei weitere Kreise mit derselben Größe im Arbelos gefunden, die heute seinen Namen tragen, die Bankoff-Kreise. Über Bankoff liest man einige ungewöhnliche Dinge: Er arbeitete 60 Jahre als Zahnarzt und war nebenbei Mathematiker. Seine Erdös-Zahl ist null.

Die Erdös-Zahl motiviert mich zu einem kurzen Abschweifen zu den beiden Begriffen „notwendig“ und „hinreichend“. Die Erdös-Zahl gibt an, wie nahe bekannt ein Mathematiker mit Paul Erdös gewesen ist, einem der produktivsten Mathematiker des 20. Jahrhunderts. Wenn jemand zusammen mit Erdös einen Artikel publiziert hat, dann erhält er die Erdös-Zahl null. Wenn jemand mit Erdös keinen Artikel veröffentlicht hat, aber mit jemand anderem, der wiederum mit Erdös publiziert hat, dann hat er die Erdös-Zahl eins, usw. Ein ähnliches Spiel gibt es heute in der Wikipedia: Man nimmt zwei beliebige Artikel in der Wikipedia und versucht die minimale Anzahl von Klicks auf Links zu ermitteln, um von der ersten auf die zweite Seite zu gelangen.

Bis vor einiger Zeit war ich noch der Meinung, wenn etwas für einen Sachverhalt hinreichend ist, muss es für den Sachverhalt auch notwendig gewesen sein. Zum Beispiel, wenn zwei Menschen zusammen ein Kind haben (hinreichend), müssen sie sich vorher getroffen haben (notwendig). Dieser Zusammenhang zwischen notwendig und hinreichend zeigt sich immer, wenn ein bestimmtes Ereignis von genau einer Ursache abhängt. Es gibt aber auch andere Fälle. Wenn jemand eine Erdös-Zahl von null hat, dann ist das hinreichend dafür, dass er ein guter Mathematiker ist. Aber es ist nicht notwendig, eine Erdös-Zahl von null zu haben, um ein guter Mathematiker zu sein. Ein weiteres Beispiel: Um reich zu sein, ist es hinreichend, viel Geld zu besitzen. Aber es ist nicht notwendig, viel Geld zu erben. Man kann auch im Lotto gewinnen. Wenn es mehrere Ursachen dafür gibt, hinreichend viel Geld zu besitzen, ist nur eine notwendig, aber keine bestimmte und auch nicht alle von ihnen.

Zurück zu den Bankoff-Kreisen. Der erste entsteht, indem man an die beiden kleineren Halbkreise des Arbelos eine Tangente anlegt und den größtmöglichen Kreis zwischen diese Tangente und den großen Halbkreis quetscht.

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Die Kreise des Arbelos I

24. September 2014 Keine Kommentare

Bereits vor langer Zeit bin ich auf den Arbelos gestoßen. In dieser Figur sind drei (Halb)Kreise ineinander geschachtelt. Die Mittelpunkte liegen auf einer Geraden, die Summe der Radien (oder der Durchmesser) der beiden kleineren Kreise ergibt die entsprechende Größe des umschließenden.

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Lämpels Kralle

14. Juni 2014 Keine Kommentare

    In Bild der Wissenschaft veröffentlicht Heinrich Hemme in jeder Ausgabe eine Aufgabe, die immer in eine nette Geschichte verpackt ist. In der Schule ging es früher etwas prosaischer und kürzer zu, da hieß es Textaufgabe und war meistens langweilig und schematisch zu lösen. Die folgende Aufgabe im Märzheft von 2014 hat mich etwas an ein Sangaku erinnert:

    Ich brauche für solche Aufgaben meist nicht lang, hier vielleicht 10 Minuten, aber ich finde sie immer wieder recht unterhaltsam. Die Aufgabe:

    1. Es sind zwei Kreise ineinander gebettet, wobei sich die Größe des kleineren Kreises daraus ergibt, dass ein Kreissegment des größeren Kreises nach innen geklappt ist und den kleineren Kreis begrenzt.

    2. Die Höhe des Segments ist dadurch gegeben, dass ein rechter Winkel, beginnend vom Mittelpunkt des größeren Kreises, den Kreis in zwei Punkten schneidet.

    3. Als absolutes Maß ist bekannt, dass im kleineren Kreis ein Quadrat mit einer Fläche von 1m2 liegt.

    4. Die rote Fläche soll berechnet werden. – Daher auch der Name der Aufgabe, die Lehrer Lämpel gestellt hat: Es soll eine Kralle darstellen, die das Quadrat „umkrallt“.

    Zur Bemaßung hier nochmals eine eigene Skizze:

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Sangaku II

6. März 2014 Keine Kommentare

Ich war noch im Halbschlaf und wie häufig in solchen Fällen, begannen meine Gedanken zu treiben. Mit geschlossenen Augen stellte ich mir eine Art Blütenblatt vor, bestehend aus vier Kreisen. Plötzlich malte mein inneres Auge in einen der vier sich überschneidenden Bereiche einen weiteren Kreis zur Zierde hinein:

Wie groß ist dieser Kreis eigentlich in Bezug auf die anderen vier gleichgroßen, fragte ich mich? Danach war ich hellwach, obwohl es im Zimmer noch stockfinster war. Setzt man den Radius der großen Kreise auf Eins, dann ist sofort ersichtlich, dass das schmale Scheibchen eine Länge von Wurzel Zwei hat und demzufolge der Mittelpunkt des Kreises bei

 (x,y) = (\frac{ \sqrt{ 2 } } { 2 }, \frac{ \sqrt{ 2 } } { 2 })

liegt, wenn der Koordinatenursprung in der Mitte ist. Aber wie sieht es nun mit dem Radius aus? Mir fiel ein, dass ich mich vor einigen Jahren bereits einmal mit Sangaku beschäftigt hatte, und die Aufgabe ist von einem solchen Typ. Im Dunkeln und ohne Schreibmöglichkeit kam ich aber nicht weiter voran und stellte mir deshalb ein anderes geometrisches Problem vor:

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Geschichten aus der Mathematik

28. August 2009 Keine Kommentare

Der Satz des Pythagoras gehört zu den Klassikern, kein Schüler kommt daran vorbei. Ich weiß nicht, ob im Unterricht auch ein Beweis gezeigt wird. Wenn man danach googelt, dann findet man, dass der Satz des Pythagoras mit dem Höhen- und dem Kathedensatz bewiesen werden kann. Besonders anschaulich ist das nicht und wie werden diese beiden Sätze dann bewiesen? Ich habe mir den folgenden geometrischen Beweis gemerkt:


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