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Archiv für die Kategorie ‘Mathematik’

Was ist der Unterschied zwischen Mathematik und Philosophie?

8. März 2019 Keine Kommentare

Mathematik und Philosophie haben sich in der Wissenschaftsgeschichte schon früh getrennt. Später sind aus der Philosophie immer weitere Wissenschaften ausgegliedert worden – genau die, für die es empirisch überprüfbare Antworten gibt, die Naturwissenschaften. Spätestens im 20. Jahrhundert (mit Wittgenstein und anderen) kam dann die Linguistische Wende.

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Was machen Mathematiker eigentlich, wenn jeder einen Taschenrechner hat?

2. Februar 2019 Keine Kommentare

Eine ähnliche Frage stelle ich mir auch, wenn ich beim Frisör bin. „Was mache ich hier eigentlich? Ich habe doch zu Hause eine Schere und einen Spiegel.“

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Warum ist Mathematik so schwer?

13. Januar 2019 Keine Kommentare

Es gibt einen grundlegenden Unterschied zwischen der Mathematik und den Naturwissenschaften.

Alle Naturwissenschaften gehen von empirischen Beobachtungen aus. Aus diesen wird dann versucht, auf Gemeinsamkeiten zu schließen und diese mathematisch zu formulieren. Das ist ein induktives Verfahren, das nie zu Ende geht: Beobachtungen können zwar niemals veralten (falsch werden), die Theorien darüber aber schon, wenn es weitere Beobachtungen gibt, die von den bestehenden Theorien nicht beschrieben werden können. Die wissenschaftliche Methode ist hier die Falsifikation.

In der Mathematik geht man von unbeweisbaren, aber als zweckmäßig empfundenen Axiomen aus. Alle mathematischen Sätze werden daraus deduktiv abgeleitet und sind bei Einhaltung der Logik aus der Sicht der grundlegenden Axiome stets wahr, werden also verifiziert. (Gödel lassen wir hier besser einmal weg.)

Diese grundlegend andere Herangehensweise schlägt auf den Unterricht durch, auch wenn man in der Schule oder einem Nichtmathematikstudium nicht ansatzweise in die Nähe der wirklichen Arbeit der heutigen Mathematiker kommt. Offensichtlich kommen die meisten Menschen besser damit klar, anhand von konkreten Beispielen nach Gemeinsamkeiten zu suchen (Induktion), als das Allgemeine auf konkrete Einzelbeispiele / Aufgaben (Deduktion) anzuwenden.

Ich empfand Mathematik niemals als schwer, sondern immer nur als interessante Herausforderung an meinen Verstand. Was man einmal als richtig herausgefunden hat, gilt für immer.

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Gibt es einen maximalen IQ?

7. Januar 2019 Keine Kommentare

Ja, es gibt einen Maximalwert. Um das zu erklären, muss man sich ansehen, wie der IQ berechnet wird:

  • Aus der Anzahl der richtig beantworteten Fragen eines Probanden im Test wird sein Prozentrang berechnet. Hat ein Proband zum Beispiel mehr Fragen beantwortet als 98% aller Teilnehmer, dann beträgt sein Prozentrang 98. Er war besser als 98% aller anderen. Es gibt nur 2%, die gleich gut oder besser waren.

  • Der Prozentrang wird auf eine Normalverteilung mit einem Mittelwert von 100 und einer Standardabweichung von 15 abgebildet. Die Gesamtfläche unter dieser Kurve ist genau eins. Diese Fläche kann mit einem Integral von minus unendlich bis plus unendlich berechnet werden. Das Integral zwischen minus unendlich bis 130 liefert 0.98, also dem Prozentrang 98. Deshalb wird die Schwelle zur Hochbegabung bei 130 angegeben. 2% der Bevölkerung haben IQs, die so hoch oder höher sind.

  • Für drei Standardabweichungen (entsprechen einem IQ von 145) findet man einen Prozentrang von 99.865, für vier (IQ = 160) 99.997. Höhere Standardabweichungen sind im Netz meist nicht angegeben, sie nähern sich aber immer mehr dem Wert 100 (bzw. eins für die Fläche unter der Kurve) an.

Für die Anzahl der Menschen mit einem IQ höher als einem bestimmten Wert bedeutet das:

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Wurde Mathematik entdeckt oder erfunden?

21. Dezember 2018 2 Kommentare

Um die Frage vernünftig beantworten zu können, muss man sich zunächst einmal die Einordnung der Mathematik in die anderen Wissenschaften ansehen. Heute ist es üblich, die Mathematik als „Strukturwissenschaft“ anzusehen. Strukturwissenschaften, zu denen auch die Informatik zählt, beschäftigen sich mit allgemeinen und abstrakten Objekten, die als Hilfsmittel für andere Wissenschaften dienen – den Geisteswissenschaften (Beschäftigung mit spezifisch menschlichen Themen) und den Naturwissenschaften (hier sagt der Name ja schon alles Wesentliche).

Die Frage, ob mathematische Objekte erfunden oder gefunden werden, ist die Frage nach ihrem ontologischen Status. Wichtig ist an dieser Stelle zu erkennen, dass es keine Beobachtungen oder Experimente gibt, die diese Frage beantworten können, es ist deshalb philosophisch gesehen eine metaphysische Frage. Auf Fragen dieses Typs gibt es im Allgemeinen keine eindeutige Antwort. Man kann lediglich die Argumente zusammentragen, die für oder gegen eine bestimmte Position sprechen.

Platon hat von einer Welt der Ideen und der idealen Objekte gesprochen, unsere reale Welt bietet lediglich unvollkommene Abbilder dieser idealen Welt. Aristoteles vertrat den entgegengesetzten Standpunkt. Für die Fragestellung hier würde ich drei Positionen unterscheiden:

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Das Hutproblem

8. August 2015 Keine Kommentare

Vor ein paar Wochen habe ich aus dem Zeitschriftenladen ein „Spektrum Highlights“-Heft mitgenommen: „Mathematische Spiele und Strategien“. Einige der Aufgaben sind (für mich) so schwierig, dass sie sich nicht als Feierabend-Sofa-Lektüre eignen, ich habe sie inzwischen schon x-mal gelesen und verstehe sie immer noch nicht vollständig. Einige alte Bekannte habe ich auch gefunden und dann letztendlich auch die schöne neue Aufgabe, um die es weiter unten gehen soll, das „Hutproblem“. Vielleicht zunächst zu den drei „alten Bekannten“.

Der Klassiker schlechthin ist natürlich das Ziegenproblem, das Marilyn vos Savant berühmt gemacht hat. Wegen ihrer Lösung wurde sie seinerzeit auch von Mathematikern beschimpft, u.a. wurde ihr geraten, sie solle doch nochmals ein Mathematikbuch in die Hand nehmen und ihre Wissenslücken aufarbeiten. Selbst einer der besten Mathematiker des 20. Jahrhunderts, Paul Erdös, hat die Lösung zunächst nicht geglaubt und musste erst durch eine Computersimulation(!) von der Richtigkeit überzeugt werden. Mit meinen eigenen Worten:

In einer Rateshow verbergen sich hinter drei Türen zwei Ziegen und ein Auto. Wenn Sie eine Tür öffnen und dahinter befindet sich eine Ziege, haben Sie verloren. Wenn Sie eine Tür öffnen und dahinter steht das Auto, dürfen Sie es behalten. Zunächst wählen Sie eine der drei Türen aus ohne sie zu öffnen. Danach öffnet der Quizmaster eine der beiden anderen Türen und zeigt Ihnen eine Ziege. Sollen Sie danach bei Ihrer ursprünglichen Wahl der ersten Tür bleiben oder auf die dritte Tür wechseln?

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Zahlenfolge aus Quersummen

21. März 2015 Keine Kommentare

Ein Bekannter erzählte mir von einer Zahlenfolge, die er sich in der Sauna überlegt hatte:

7, 5, 3, 1, 8, 6, 4, 2, 9, 7, 5, 3, 1, 8, …

Den anderen Saunagästen konnte er davon natürlich nichts erzählen, aber ich teile mit ihm ein gewisses Faible für Mathematik, schwierige Rätsel, und meistens haben wir auch denselben Humor. Ich sollte herausfinden, welchem Bildungsgesetz seine Folge gehorcht. Dieses Mal gelang es mir nicht. Deshalb verriet er mir, dass es die Quersummen der Vielfachen von sieben sind:

Z  7   14   21   28   35   42   49   56   63   70   … 
Q  7   5   3   10   8   6   13   11   9   7   … 
Q2  7   5   3   1   8   6   4   2   9   7 

In der ersten Zeile stehen die Zahlen in der Tabelle, in der zweiten die Quersummen. Der Clou seiner Zahlenfolge bestand nun darin, dass er, wenn die Quersumme selbst mehrstellig wurde, die Quersumme der Quersumme verwendet hat. Erst dadurch ergab sich das Muster der Folge. Ob das Muster seiner Folge auch bei größeren Zahlen erhalten bleibt, wusste er nicht, soviel hatte er in der Sauna also doch nicht rechnen können. Ich habe es mit ein paar größeren Zahlen probiert:

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Peter Winkler: Mathematische Rätsel für Liebhaber

14. März 2015 1 Kommentar

Das Buch habe ich im vorigen Jahr einem Bekannten zum Geburtstag geschenkt, der sich genau wie ich ab und zu für eine knifflige Aufgabe interessiert. Bei den meisten Aufgaben findet er nach einigem Nachdenken zumindest einen Lösungsansatz, bei der folgenden Aufgabe nicht:

Paula nimmt zwei Zettel und schreibt auf jeden eine ganze Zahl. Es gibt keine Einschränkungen für diese beiden Zahlen; sie müssen lediglich unterschiedlich sein. Dann verbirgt sie in jeder Hand einen Zettel.

Victor wählt eine Hand aus. Paula öffnet die Hand, so dass Victor die Zahl auf dem Blatt Papier sehen kann. Victor muss nun raten, ob diese Zahl die größere oder die kleinere von Paulas Zahlen ist. Wenn er richtig rät, gewinnt er einen Euro; ansonsten verliert er einen Euro

Natürlich kann Victor in diesem Spiel Gleichstand erreichen indem er beispielsweise eine Münze wirft, um sich für „größer“ oder „kleiner“ zu entscheiden. Die Frage ist: Wenn er Paulas Psyche nicht kennt, gibt es dann eine Möglichkeit, mehr als ein Unentschieden zu erreichen?

Das Besondere ist jetzt nicht einmal, dass er keinen Lösungsansatz gefunden hat, sondern, dass er nicht einmal die im Buch auf einer der folgenden Seiten abgedruckte Lösung verstehen konnte:

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Daniel Tammet: Die Poesie der Primzahlen

13. März 2015 Keine Kommentare

Daniel Tammet: Über Pythagoras wissen wir mit Sicherheit nur, dass er gar nicht Pythagoras hieß.

Unbekannte Hausfrau: Es gibt nichts, dessen Hälfte nichts wäre.

Ich habe das Buch „Die Poesie der Primzahlen“ von Daniel Tammet stückweise gelesen und danach erst mal beiseite gelegt. Immer wenn ich ein Buch später rezensieren will, befestige ich einige Klebezettel an Stellen, die mir erwähnenswert erscheinen. Nur meistens ist es so, dass mir der Zusammenhang entfällt, also warum ich die entsprechenden Stellen so bemerkenswert fand, wenn einige Zeit vergangen ist. So ist es mir auch dieses Mal gegangen, weil der Chileurlaub zwischen das Lesen und das Rezensieren fiel.

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Die Kreise des Arbelos II

26. September 2014 Keine Kommentare

Im vorhergehenden Artikel Die Kreise des Arbelos I wurde die Größe einiger Kreise hergeleitet, die bereits Archimedes bekannt gewesen sein sollen. Im 20. Jahrhundert wurden von Leon Bankoff zwei weitere Kreise mit derselben Größe im Arbelos gefunden, die heute seinen Namen tragen, die Bankoff-Kreise. Über Bankoff liest man einige ungewöhnliche Dinge: Er arbeitete 60 Jahre als Zahnarzt und war nebenbei Mathematiker. Seine Erdös-Zahl ist null.

Die Erdös-Zahl motiviert mich zu einem kurzen Abschweifen zu den beiden Begriffen „notwendig“ und „hinreichend“. Die Erdös-Zahl gibt an, wie nahe bekannt ein Mathematiker mit Paul Erdös gewesen ist, einem der produktivsten Mathematiker des 20. Jahrhunderts. Wenn jemand zusammen mit Erdös einen Artikel publiziert hat, dann erhält er die Erdös-Zahl null. Wenn jemand mit Erdös keinen Artikel veröffentlicht hat, aber mit jemand anderem, der wiederum mit Erdös publiziert hat, dann hat er die Erdös-Zahl eins, usw. Ein ähnliches Spiel gibt es heute in der Wikipedia: Man nimmt zwei beliebige Artikel in der Wikipedia und versucht die minimale Anzahl von Klicks auf Links zu ermitteln, um von der ersten auf die zweite Seite zu gelangen.

Bis vor einiger Zeit war ich noch der Meinung, wenn etwas für einen Sachverhalt hinreichend ist, muss es für den Sachverhalt auch notwendig gewesen sein. Zum Beispiel, wenn zwei Menschen zusammen ein Kind haben (hinreichend), müssen sie sich vorher getroffen haben (notwendig). Dieser Zusammenhang zwischen notwendig und hinreichend zeigt sich immer, wenn ein bestimmtes Ereignis von genau einer Ursache abhängt. Es gibt aber auch andere Fälle. Wenn jemand eine Erdös-Zahl von null hat, dann ist das hinreichend dafür, dass er ein guter Mathematiker ist. Aber es ist nicht notwendig, eine Erdös-Zahl von null zu haben, um ein guter Mathematiker zu sein. Ein weiteres Beispiel: Um reich zu sein, ist es hinreichend, viel Geld zu besitzen. Aber es ist nicht notwendig, viel Geld zu erben. Man kann auch im Lotto gewinnen. Wenn es mehrere Ursachen dafür gibt, hinreichend viel Geld zu besitzen, ist nur eine notwendig, aber keine bestimmte und auch nicht alle von ihnen.

Zurück zu den Bankoff-Kreisen. Der erste entsteht, indem man an die beiden kleineren Halbkreise des Arbelos eine Tangente anlegt und den größtmöglichen Kreis zwischen diese Tangente und den großen Halbkreis quetscht.

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