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Archiv für die Kategorie ‘Logik’

Das Rabenparadoxon

3. Oktober 2016 1 Kommentar

Im Urlaub habe ich das Buch „Paradoxien“ von Gary Hayden und Michael Picard gelesen. Eines der ersten Paradoxa im Buch ist Hempels Paradoxon, benannt nach dem Philosophen Carl Gustav Hempel, siehe Wikipedia. Besser bekannt ist es sicher unter dem Namen „Rabenparadoxon“. Im Buch liest man dazu:

Die Wissenschaftlerin Martha möchte die These „Alle Raben sind schwarz.“ untersuchen. Wann immer sie auf einen Raben trifft und er schwarz ist, fühlt sie sich bestärkt. Dies ist eine normale induktive Folgerung. Jede Sichtung eines schwarzen Raben ist eine Bestätigung von Marthas These. Je mehr Bestätigungen, umso wahrscheinlicher ist die Korrektheit ihrer Annahme.

Die Tücken induktiver Schlüsse (also von Einzelfällen auf die Allgemeinheit) sind hinreichend bekannt. Auch wenn bisher die Sonne jeden Tag aufgegangen ist, bietet das keine Garantie darauf, dass sie auch morgen wieder aufgehen wird. Im Gegenteil, wir wissen ja sicher, dass sie das eines Tages nicht mehr tun wird. Das einprägsamste Beispiel der Fehlbarkeit induktiver Schlüsse ist für mich der folgende Witz: „Springt ein Mann aus dem zehnten Stock eines Hochhauses. Als er am ersten Stock vorbeisaust, sagt er sich: ‚Ich weiß gar nicht, was die anderen nur wollen. Bisher ging doch alles gut!'“

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Das Hutproblem

8. August 2015 Keine Kommentare

Vor ein paar Wochen habe ich aus dem Zeitschriftenladen ein „Spektrum Highlights“-Heft mitgenommen: „Mathematische Spiele und Strategien“. Einige der Aufgaben sind (für mich) so schwierig, dass sie sich nicht als Feierabend-Sofa-Lektüre eignen, ich habe sie inzwischen schon x-mal gelesen und verstehe sie immer noch nicht vollständig. Einige alte Bekannte habe ich auch gefunden und dann letztendlich auch die schöne neue Aufgabe, um die es weiter unten gehen soll, das „Hutproblem“. Vielleicht zunächst zu den drei „alten Bekannten“.

Der Klassiker schlechthin ist natürlich das Ziegenproblem, das Marilyn vos Savant berühmt gemacht hat. Wegen ihrer Lösung wurde sie seinerzeit auch von Mathematikern beschimpft, u.a. wurde ihr geraten, sie solle doch nochmals ein Mathematikbuch in die Hand nehmen und ihre Wissenslücken aufarbeiten. Selbst einer der besten Mathematiker des 20. Jahrhunderts, Paul Erdös, hat die Lösung zunächst nicht geglaubt und musste erst durch eine Computersimulation(!) von der Richtigkeit überzeugt werden. Mit meinen eigenen Worten:

In einer Rateshow verbergen sich hinter drei Türen zwei Ziegen und ein Auto. Wenn Sie eine Tür öffnen und dahinter befindet sich eine Ziege, haben Sie verloren. Wenn Sie eine Tür öffnen und dahinter steht das Auto, dürfen Sie es behalten. Zunächst wählen Sie eine der drei Türen aus ohne sie zu öffnen. Danach öffnet der Quizmaster eine der beiden anderen Türen und zeigt Ihnen eine Ziege. Sollen Sie danach bei Ihrer ursprünglichen Wahl der ersten Tür bleiben oder auf die dritte Tür wechseln?

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Paradoxa

24. April 2015 2 Kommentare

Florian Freistetter hat in seinem Blog Astrodicitum Simplex in den ersten drei Aprilwochen eine Reihe von Beiträgen über verschiedene Paradoxa veröffentlich. Viele von ihnen kannte ich schon, aber seine Texte waren für mich Anlass, über einige neu nachzudenken. Interessant war für mich zum Beispiel das Paradoxon der unerwarteten Hinrichtung. So steht es zumindest in der Wikipedia. Es tut dem Paradoxon aber keinen Abbruch, wenn man es auf ein harmloseres Beispiel überträgt:

Eine Lehrerin kündigt ihrer Klasse an, dass in der folgenden Woche eine Klassenarbeit kommen wird. Sie sagt den Schülern, dass die Arbeit überraschend an einem beliebigen Tag der Woche geschrieben werden wird.

Die Schüler überlegen sich, dass die Arbeit wohl kaum am Freitag stattfinden kann. Denn dann wüssten sie ja am Freitagmorgen definitiv Bescheid, dass sie an diesem Tag stattfindet und es wäre keine Überraschung mehr. Genau mit der gleichen Logik können sie aber dann den Donnerstag ausschließen, denn wenn die Arbeit am Freitag nicht unerwartet stattfinden kann, wäre der Donnerstag der letzte mögliche Tag usw. Sie kommen deshalb zu dem Schluss, dass in der folgenden Woche überhaupt keine Arbeit geschrieben werden kann.

Es gibt einige Ideen, die bei der Auflösung von Paradoxa verwendet werden können:

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Dinge, von denen wir nicht wissen, dass wir sie wissen

18. September 2014 Keine Kommentare

Einer meiner Lieblingsphilosophen ist bekanntlich Donald Rumsfeld. Er hat zum Beispiel in einer Pressekonferenz gesagt:

Wir wissen aus sicherer Quelle, dass Bin Laden entweder in Afghanistan ist oder in einem anderen Land oder aber tot.

Noch besser aber fand ich seinerzeit:

Es gibt Dinge, von denen wir wissen, dass wir sie wissen. Es gibt Dinge, von denen wir wissen, dass wir sie nicht wissen. Es gibt Dinge, von denen wir nicht wissen, dass wir sie nicht wissen.

Im 2×2-Logiktableau fehlt die Kategorie „Es gibt Dinge, von denen wir nicht wissen, dass wir sie wissen.“ und ich dachte bis vor kurzem auch, dass diese Menge leer sein muss. In der „Hohe Luft“-Ausgabe vom August wurde ich eines Besseren belehrt. Zunächst Rumsfeld Aussage im Original, eine sprachliche Perle:

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Peter Plöger: Warum wir es gerne einfach hätten…

25. Mai 2014 Keine Kommentare

… „und alles immer so kompliziert ist.“ – Das ist der Titel eines Buchs von Peter Plöger.

Auf den ersten Seiten hatte ich Mühe mit seinem Stil. Ich erinnere mich nicht mehr, was mich gestört hat, denn am Ende hat mir das Buch ausnehmend gut gefallen. Ein paar Mal erwähnt er in seinem Text Schnelles Denken, langsames Denken von Daniel Kahnemann. Ich kenne Kahnemanns Buch nicht, es steht bei mir noch ungelesen im Regal. Aber es könnte ebenfalls von den verschiedenen Methoden handeln, mit denen wir Urteile über die Welt bilden. Plöger jedenfalls zeigt Möglichkeiten fehlerhaften Denkens auf ganz verschiedenen Gebieten, von denen ich hier Beispiele aus drei Gebieten – Kultur, Wirtschaft und Demokratie – herausgesucht habe.

Die Welt muss für uns Sinn haben, und wir müssen in ihr handeln können. Deshalb wird unsere Wahrnehmung der Welt von Prozessen bestimmt, die ihnen eine Sinn- und Handlungsstruktur geben. Der Wahrnehmungsapparat (die Sinnesorgane und die Teile des zentralen Nervensystems, die an der Wahrnehmung beteiligt sind) schafft eine Erzählung, von der das Individuum annehmen muss, dass sie der Wirklichkeit entspricht. Es ist, als würde er eine fortlaufende Geschichte konstruieren mit der Wirklichkeit als Inhalt. Der Wahrnehmungsapparat erzählt, und wie ein guter Geschichtenerzähler lässt er Einzelheiten wegfallen, hebt andere dafür deutlicher hervor, dramatisiert, ordnet Dinge, fügt Ereignisse in Abfolgen hintereinander und trennt eins vom anderen. Er schafft damit Klarheit und Verständlichkeit. Und nicht zuletzt Sinn. Die Welt muss Sinn ergeben, damit wir uns in ihr zurechtfinden können.

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»Abstraktionen entfernen die Besonderheiten, die zwei Objekte voneinander unterscheiden… Experimente entfernen zudem (oder versuchen das zumindest) die Verbindungen, die jeder Prozess zu seiner Umgebung hat – sie erzeugen eine künstliche und in gewissem Sinne verarmte Umgebung, um dann ihre Eigenschaften zu untersuchen. In beiden Fällen wird etwas weggenommen oder „blockiert“ gegenüber der Gesamtheit, die uns umgibt.

In den letzten Jahren war häufig vom Kampf der Kulturen die Rede. Plöger beschäftigt sich mit den Äußerungen von Thilo Sarrazin und worin dessen Hauptdenkfehler bestehen. Ersetzt man in Sarrazins Thesen den Begriff der Kultur durch den der Rasse, dann erkennt man das Denkmuster. Außer dem Fehler, individuelle Eigenheiten jedes Menschen zu ignorieren, wenn man ihn einer bestimmten Gruppe zuordnet, kann man beim Verwenden des Begriffs der Kultur aber noch weitere Fehler machen:

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Zahlenfolgen

9. März 2013 8 Kommentare

Ein bei IQ-Tests häufig zu findender Aufgabentyp sind Zahlenfolgen, bei denen am Ende eine weitere Zahl zu ergänzen ist. Meistens sind mehrere Aufgaben zu lösen, die nach wachsender Schwierigkeit geordnet sind. Ein paar Beispiele:

2 4 6 8 ?

Lösung
10
Die nächste Zahl ist jeweils die vorhergehende plus 2.

2 4 6 10 ?

Lösung
16
Die nächste Zahl ist jeweils die Summe der beiden vorhergehenden Zahlen. Das ist das Konstruktionsprinzip der Fibonacci-Zahlenfolgen.

2 4 7 11 ?

Lösung
16
Die Incremente steigen von Zahl zu Zahl: Plus 2, plus 3, plus 4, plus 5.

2 4 8 10 20 ?

Lösung
22
Plus 2 und mal 2 wechseln sich ab.

2 4 2 1 3 6 ?

Lösung
4
Mal 2, minus 2, durch 2, plus 2, das wiederholt sich fortlaufend.

2 3 4 9 6 27 8 ?

Lösung
81
Hier sind zwei Folgen ineinander verschachtelt, die eine Folge wächst mit plus 2, die andere mit mal 3.

Wenn man die vorhergehenden Folgen als leicht empfunden und gelöst hat, wird man von der folgenden Aufgabe sicher aus dem Tritt gebracht. Hier soll angegeben werden, welche Zahl nicht in die Folge gehört:
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Argumentationsfehler

7. März 2013 4 Kommentare

Spätestens, wenn in Diskussionen die Emotionen hochkochen, werden auch Argumente geäußert, die man als weit hergeholt empfindet, die wenig oder nichts mit der Sache zu tun haben oder bei denen man manchmal das Gefühl hat, dass sie nicht stimmen können. Gibt es typische Muster, kann man „Argumentationsfehler“ systematisieren? Dieses Thema beschäftigt mich schon seit längerem, siehe z.B. Handbuch gegen Argumentationsfehler.

Gute deutschsprachige Seiten zu logical fallacies, so die englische Bezeichnung, waren bisher schwer zu finden. In den SciLogs bin ich jetzt in dem Artikel Ist besseres Argumentieren in der Gentechnikdebatte möglich? fündig geworden. Dort wird die Diskussion über die Abschaffung des Schülerlabors „HannoverGEN“ durch die rot-grünen Landesregierung in Niedersachsen zum Anlass genommen, auf typische Fehler in sich emotional hochschaukelnden Diskussionen einzugehen und jeweils einige Beispiele zu zitieren. Außerdem wird in diesem Artikel auf den Ratioblog verwiesen, der sich genau diesem Thema, der Systematisierung typischer Argumentationsfehler, widmet. Hier meine eigene, überarbeitete Liste nach dem Studium dieser beiden Artikel. Die Benennung der Typen ist etwas durcheinander, einige stammen bereits aus der Antike (Aristoteles), andere aus dem englischsprachigen Ausland, einige sind unter verschiedenen Bezeichnungen bekannt:
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Leophobie?

17. Januar 2013 Keine Kommentare

In Kurioses zum Jahresbeginn hatte ich vermerkt, dass sich 99% aller Menschen vor Löwen fürchten. Nach reiflichem Nachdenken möchte ich das doch jetzt bezweifeln. Ist es nicht eher so, dass sich die Löwen, weil sie sich vor uns fürchten, hinter Gittern verstecken, oder wenn sie sich einmal nicht vor uns fürchten, durch Klatschen vertrieben werden können? Der Beweis fällt recht leicht: Dort wo niemand klatscht, befinden sich die Löwen hinter Gittern. Dort wo geklatscht wird, gibt es keine Löwen. Zirkus mit Löwen ist Tierquälerei und gilt nicht.

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Gott und Gehirn? Hirnforschung als Herausforderung für die Theologie

28. Mai 2012 10 Kommentare

Diese Überschrift habe ich einem Blogartikel entnommen, mit der Christian Hoppe in der vergangenen Woche eine Diskussion losgetreten hat, die sich quer durch mehrere Blogs in SciLogs zieht. Kurioserweise ist Christian Hoppe Theologe, der nach der Analyse der Erkenntnisse der Neurowissenschaften bereit ist, die Idee einer immateriellen (=unsterblichen) Seele zur Disposition zu stellen, während die Gegenposition, dass man diese Schlussfolgerung keinesfalls aus den naturwissenschaftlichen Erkenntnissen ziehen kann, von einem agnostischen Philosophen, Stephan Schleim, eingenommen wird. In diese Diskussion hat sich später Thomas Grüter, der u.a. mit Büchern über Intellgenzforschung und denkende Maschinen bekannt geworden ist, mit einem eigenen Artikel eingemischt.

Der erste Artikel von Christian Hoppe Gott und Gehirn? Hirnforschung als Herausforderung für die Theologie ist im Wesentlichen der Text eines Vortrags, den er anlässlich des letzten Katholikentages auf einem dortigen Workshop gehalten hat. Darin heißt es:

Aber ich möchte Ihnen vor Augen führen, dass wir heute – im Unterschied zu früheren Generationen – keinerlei Hinweise mehr darauf finden, dass geistig-seelische Vermögen oder Phänomene unabhängig von Hirnfunktionen auftreten könnten.

Die Leitidee der modernen Hirnforschung ist, dass sämtliche psychischen Vermögen und Phänomene, soweit wir diese kennen und überhaupt als solche identifizieren können, von Hirnfunktionen (bzw. den Funktionen eines Nervensystems) und letztlich vom intakten Organismus abhängen. Was Ihr Auge für das Sehen ist, ist Ihr Gehirn für die Gesamtheit Ihrer psychischen Vermögen, das heißt für Wahrnehmung, Gefühle, Erinnerungen, Denken usw.

Anders formuliert lautet die These: Es gibt keine psychischen Phänomene ohne Hirnfunktion.

Und schon gar nicht gibt es dann rein geistige, immaterielle, übernatürliche Wesenheiten, die irgendetwas sehen, hören, fühlen, beabsichtigen oder physisch bewirken könnten.

Zum Tod schreibt er:
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Denkfallen und Paradoxa

17. März 2012 3 Kommentare

Das folgende Rätsel hat mir ein Kollege zugemailt:

1.

Hier soll in der letzten Zeile die fehlende Zahl ergänzt werden. Als ergänzender Text war noch zu lesen:

Das folgende Rätsel können Vorschulkinder in 5-10 Minuten lösen, Informatiker in einer Stunde und Menschen mit höherem Bildungsabschluss brauchen angeblich noch länger.

Die Logik dieses Satzes ist etwas verquer. Haben Informatiker etwa keinen höheren Bildungsabschluss? Aber egal, wenn ich mich dieser Logik anschließe, dann habe ich das Niveau eines einjährigen Säuglings, denn ich brauchte etwa eine Minute, bis ich die richtige Idee hatte. Aber natürlich ist das nicht ganz fair, denn die Aufgabe erinnerte mich an eine andere, auf die ich vor zwei Jahren gestoßen war und die ich damals nicht lösen konnte:
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KategorienAlltag, Logik, Sprache Tags: