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Archiv für die Kategorie ‘Alltag’

Goldene Kreise

14. September 2014 2 Kommentare

Im Urlaub hatte ich in einem Rätselbuch diese Zeichung gefunden,

verbunden mit in etwa der folgenden Aufgabe:

Gegeben ist ein gleichschenkliges Dreieck mit zwei Schenkeln der Länge a und einer Grundlinie mit der Länge b. In das Dreieck wird zunächst ein Kreis eingezeichnet, so dass er die beiden Schenkel und die Grundlinie berührt. In den darüber stehenden freien Raum wird der nächste Kreis eingezeichnet, der unten den ersten Kreis berührt und links und rechts wieder die beiden Schenkel. Das Verfahren wird iterativ fortgesetzt, solange bis das gesamte Dreieck bis zur Spitze mit Kreisen ausgefüllt ist. Berechne die Summe der Umfänge aller Kreise!

(In der Zeichnung sollen die drei Punkte die Fortsetzung mit den unendlich vielen weiteren Kreisen andeuten.) Man denkt bei dieser Aufgabe natürlich automatisch an eine Herleitung mit der Methode der vollständigen Induktion, aber so kompliziert wird eine Aufgabe ja in einem einfachen Rätselbuch nicht sein. Tatsächlich war die Lösung auch viel einfacher:

Lösung

Man kann die Summe der Durchmesser aller Kreise recht leicht ausrechnen, sie ist gleich der Höhe des Dreiecks. Und wenn der Umfang eines Kreises gleich Pi mal Umfang ist, dann ist die Summe der Umfänge aller Kreise gleich Pi mal der Höhe des Dreiecks. Ich habe es nicht selbst herausgefunden, mein hyperschlauer Lieblingskollege aber schon. 🙁

U = \pi \sqrt{ a^2 + {{b} \over {2}}^2 }

Diese Aufgabe muss mir wohl noch im Kopf herumgespukt haben, als mir die folgende Aufgabe eingefallen ist:

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Der Doktor und das liebe Pi

9. September 2014 Keine Kommentare

Es gibt nur wenige irrationale Zahlen, die Berühmtheit erlangt haben, die bekanntesten sind sicherlich Pi und e, obwohl es theoretisch mehr irrationale als rationale Zahlen gibt. Von ersteren sind überabzählbar unendlich viele, von letzteren nur abzählbar unendlich viele vorhanden. Vor ein paar Tagen bin ich wieder mal auf das Thema Pi gestoßen und auf einige neue Aspekte aufmerksam geworden. Es hatte ganz harmlos mit einer kurzen Frage begonnen:

Zu Pi habe ich eine Frage: Ich habe nie verstanden, warum mein Mathelehrer so ein Mysterium um die unendlich vielen Nachkommastellen von Pi gemacht hat. Das liegt doch nur an der relativ willkürlichen Festlegung unseres Dezimalsystems. Würde man π (PI), oder ein Vielfaches als Basis unseres Zahlensystens verwenden (was praktisch Humbug wäre, aber theoretisch nicht minder sinnlos als die 10) hätte man das Phänomen doch nicht, oder?

Ich musste kurz nachdenken, aber dann war es mir klar: Wenn man ein Zahlensystem auf der Basis von Pi aufbaut, wird zwar Pi eine ganze Zahl, aber die meisten anderen Zahlen werden bzw. bleiben irrational. Ausnahmen sind alle Produkte der jetzt neuen Zahlenbasis Pi mit einer rationalen Zahl. (Und da, wie oben bereits geschrieben, es unendlich mal mehr irrationale als rationale Zahlen gibt, ändert sich eigentlich wenig.) Man müsste alle Zahlen durch Pi teilen, um ihren Wert in dem neuen System zu ermitteln. Zahlen sind immer Verhältnisse zu ihrer Zahlenbasis. Auch Pi rührt ja aus einem Verhältnis von Zahlen (oder in der Geometrie einer Figur) her, dem Quotienten aus Umfang und Durchmesser eines Kreises.

Doch dann saß ich einem Fehlschluss auf, denn ich dachte, dass es doch irgendwie möglich sein müsste, Pi einfach zu berechnen. Das war aber ein Denkfehler, denn wenn irgendwo in einem Ergebnis Pi auftauchen soll, muss es bereits in der Herleitung enthalten sein und sich alle anderen Variablen und Konstanten wegkürzen. Dem numerischen Wert von Pi kann man sich nur nähern, eine unendliche Reihe kann zwar den exakten Wert liefern – aber wegen der unendlichen Zahl der Faktoren oder Summanden wieder nicht numerisch berechnet werden.

Eine bereits aus der Antike bekannte Näherung stellt das Approximieren eines Kreises durch regelmäßige Vielecke dar. Ein einfacher Fall ist das regelmäßige Sechseck:

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Gegen die Hoffnungslosigkeit!

22. August 2014 Keine Kommentare

Wenn man sich in der letzten Zeit die Nachrichten ansieht, dann kann einem der Glaube an die Menschheit schon verloren gehen. Aber es gibt auch andere Seiten unserer Spezies. Stimmungsaufhellend sind zum Beispiel diese beiden schönen Fundstücke der letzten paar Tage:


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Kerry nicht allein zu Hause

4. August 2014 Keine Kommentare

Ich musste lachen, als ich die Meldung gelesen habe, dass Israel das Telefon des US-amerikanischen Außenminister Kerry abgehört hat. Jetzt sind die Amerikaner sauer auf die Israelis. Es ist offenbar okay, wenn man andere abhört, aber nicht, wenn man selbst abgehört wird.

Bereits vor einer Woche noch hatte der Postillon vermeldet: Existenz anderer Geheimdienste Hauptgrund für Existenz von Geheimdiensten:

Der Hauptgrund für die Existenz von Geheimdiensten ist die allgemeine Existenz von Geheimdiensten. Dies geht aus einer Studie der Nichtregierungsorganisation Transparency International hervor, die dem Postillon vorliegt. Demnach werden rund 98 Prozent der Ressourcen der derzeit 544 internationalen Dienste und Behörden weltweit darauf verwendet, ähnlich unnötige Dienste anderer Staaten zu neutralisieren.

Von den übrigen 98 Prozent des Budgets entfällt rund ein Drittel auf die Bezahlung von Doppel-, Tripel- und den als besonders teuer geltenden Quadrupelagenten. Ein weiteres Drittel wird für das Ausspionieren der eigenen Bevölkerung sowie der befreundeter Staaten aufgewendet, um bislang noch unentdeckte Geheimagenten feindlicher Dienste zu entlarven. Der Rest geht zu gleichen Teilen in schicke Lederhandschuhe, Zitronensaft-Geheimtinte, falsche Bärte und mit Augenlöchern versehene Zeitungen.

Man sollte den Betreffenden den Geldhahn zudrehen, dann können sie sich nur noch in ihrer Freizeit hinter die Gardine stellen oder die Bildzeitung lesen.

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Lämpels Kralle

14. Juni 2014 Keine Kommentare

    In Bild der Wissenschaft veröffentlicht Heinrich Hemme in jeder Ausgabe eine Aufgabe, die immer in eine nette Geschichte verpackt ist. In der Schule ging es früher etwas prosaischer und kürzer zu, da hieß es Textaufgabe und war meistens langweilig und schematisch zu lösen. Die folgende Aufgabe im Märzheft von 2014 hat mich etwas an ein Sangaku erinnert:

    Ich brauche für solche Aufgaben meist nicht lang, hier vielleicht 10 Minuten, aber ich finde sie immer wieder recht unterhaltsam. Die Aufgabe:

    1. Es sind zwei Kreise ineinander gebettet, wobei sich die Größe des kleineren Kreises daraus ergibt, dass ein Kreissegment des größeren Kreises nach innen geklappt ist und den kleineren Kreis begrenzt.

    2. Die Höhe des Segments ist dadurch gegeben, dass ein rechter Winkel, beginnend vom Mittelpunkt des größeren Kreises, den Kreis in zwei Punkten schneidet.

    3. Als absolutes Maß ist bekannt, dass im kleineren Kreis ein Quadrat mit einer Fläche von 1m2 liegt.

    4. Die rote Fläche soll berechnet werden. – Daher auch der Name der Aufgabe, die Lehrer Lämpel gestellt hat: Es soll eine Kralle darstellen, die das Quadrat „umkrallt“.

    Zur Bemaßung hier nochmals eine eigene Skizze:

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Peter Plöger: Warum wir es gerne einfach hätten…

25. Mai 2014 Keine Kommentare

… „und alles immer so kompliziert ist.“ – Das ist der Titel eines Buchs von Peter Plöger.

Auf den ersten Seiten hatte ich Mühe mit seinem Stil. Ich erinnere mich nicht mehr, was mich gestört hat, denn am Ende hat mir das Buch ausnehmend gut gefallen. Ein paar Mal erwähnt er in seinem Text Schnelles Denken, langsames Denken von Daniel Kahnemann. Ich kenne Kahnemanns Buch nicht, es steht bei mir noch ungelesen im Regal. Aber es könnte ebenfalls von den verschiedenen Methoden handeln, mit denen wir Urteile über die Welt bilden. Plöger jedenfalls zeigt Möglichkeiten fehlerhaften Denkens auf ganz verschiedenen Gebieten, von denen ich hier Beispiele aus drei Gebieten – Kultur, Wirtschaft und Demokratie – herausgesucht habe.

Die Welt muss für uns Sinn haben, und wir müssen in ihr handeln können. Deshalb wird unsere Wahrnehmung der Welt von Prozessen bestimmt, die ihnen eine Sinn- und Handlungsstruktur geben. Der Wahrnehmungsapparat (die Sinnesorgane und die Teile des zentralen Nervensystems, die an der Wahrnehmung beteiligt sind) schafft eine Erzählung, von der das Individuum annehmen muss, dass sie der Wirklichkeit entspricht. Es ist, als würde er eine fortlaufende Geschichte konstruieren mit der Wirklichkeit als Inhalt. Der Wahrnehmungsapparat erzählt, und wie ein guter Geschichtenerzähler lässt er Einzelheiten wegfallen, hebt andere dafür deutlicher hervor, dramatisiert, ordnet Dinge, fügt Ereignisse in Abfolgen hintereinander und trennt eins vom anderen. Er schafft damit Klarheit und Verständlichkeit. Und nicht zuletzt Sinn. Die Welt muss Sinn ergeben, damit wir uns in ihr zurechtfinden können.

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»Abstraktionen entfernen die Besonderheiten, die zwei Objekte voneinander unterscheiden… Experimente entfernen zudem (oder versuchen das zumindest) die Verbindungen, die jeder Prozess zu seiner Umgebung hat – sie erzeugen eine künstliche und in gewissem Sinne verarmte Umgebung, um dann ihre Eigenschaften zu untersuchen. In beiden Fällen wird etwas weggenommen oder „blockiert“ gegenüber der Gesamtheit, die uns umgibt.

In den letzten Jahren war häufig vom Kampf der Kulturen die Rede. Plöger beschäftigt sich mit den Äußerungen von Thilo Sarrazin und worin dessen Hauptdenkfehler bestehen. Ersetzt man in Sarrazins Thesen den Begriff der Kultur durch den der Rasse, dann erkennt man das Denkmuster. Außer dem Fehler, individuelle Eigenheiten jedes Menschen zu ignorieren, wenn man ihn einer bestimmten Gruppe zuordnet, kann man beim Verwenden des Begriffs der Kultur aber noch weitere Fehler machen:

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Klimawandel: Die Dinosaurier sind schuld!

6. Mai 2014 Keine Kommentare

Gestern hat mich eine Meldung in SPON sehr verblüfft: Angesehener Meteorologe wechselt zu den Klimaskeptikern. Die Einleitung:

Eine heikle Personalie erschüttert die Umweltforschung: Einer der angesehensten Klimatologen, der emeritierte Max-Planck-Direktor Lennart Bengtsson, wechselt ins Lager der Skeptiker. Im Interview erläutert er seinen überraschenden Schritt.

Aber nachdem ich das Folgende gelesen hatte, war ich wieder beruhigt:

Bengtsson: Die meisten Mitglieder der GWPF (*) sind Ökonomen, und dies ist eine Chance für mich, von einigen dieser hoch qualifizierten Mitglieder in Bereichen außerhalb meiner eigenen Expertise zu lernen. Ich möchte dort durch meine meteorologische Kenntnisse dazu beitragen, die Debatte zu öffnen.

(*) GWPF = Global Warming Policy Foundation: Die GWPF, also die „Klimawandel-Politik-Stiftung“, ist eine gemeinnützige Organisation aus Großbritannien, die sich als „Denkfabrik“ bezeichnet. Sie wurde 2009 von dem konservativen Politiker Nigel Lawson gegründet, um angebliche Überreaktionen gegen die globale Erwärmung zu verhindern. Ihr Ziel verfolgt sie mit kämpferischen Informationskampagnen. Der Tenor: Der Klimawandel werde als Problem überschätzt.

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Warum sitzen wir gern am Feuer?

26. April 2014 Keine Kommentare

Wir saßen in kleiner Runde um eine Feuerschale und jemand machte die Bemerkung, dass dieser Hang, am Feuer zu sitzen, hinein zu starren und die Situation zu genießen, irgendwo in unseren Genen verankert sein müsste. Die meisten anderen Tiere fliehen schließlich vor dem Feuer.

Ich kam etwas ins Grübeln, wie sollte das funktioniert haben? Mein erster Gedanke war sicher falsch: Erfolgreichere Jäger und Sammler saßen, um ihr Essen zu garen, häufiger vor dem Feuer als die Erfolglosen. Also sollte Jagd- und damit Fortpflanzungserfolg mit der Feuernutzung korrelieren. Die Idee ist aber falsch, weil sie eine Kausalität nach Art von Lamarck herstellt: Was man häufiger tut, gräbt sich ins Erbgut ein.

Erst am nächsten Morgen hatte ich bessere Ideen:
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Sangaku II

6. März 2014 Keine Kommentare

Ich war noch im Halbschlaf und wie häufig in solchen Fällen, begannen meine Gedanken zu treiben. Mit geschlossenen Augen stellte ich mir eine Art Blütenblatt vor, bestehend aus vier Kreisen. Plötzlich malte mein inneres Auge in einen der vier sich überschneidenden Bereiche einen weiteren Kreis zur Zierde hinein:

Wie groß ist dieser Kreis eigentlich in Bezug auf die anderen vier gleichgroßen, fragte ich mich? Danach war ich hellwach, obwohl es im Zimmer noch stockfinster war. Setzt man den Radius der großen Kreise auf Eins, dann ist sofort ersichtlich, dass das schmale Scheibchen eine Länge von Wurzel Zwei hat und demzufolge der Mittelpunkt des Kreises bei

 (x,y) = (\frac{ \sqrt{ 2 } } { 2 }, \frac{ \sqrt{ 2 } } { 2 })

liegt, wenn der Koordinatenursprung in der Mitte ist. Aber wie sieht es nun mit dem Radius aus? Mir fiel ein, dass ich mich vor einigen Jahren bereits einmal mit Sangaku beschäftigt hatte, und die Aufgabe ist von einem solchen Typ. Im Dunkeln und ohne Schreibmöglichkeit kam ich aber nicht weiter voran und stellte mir deshalb ein anderes geometrisches Problem vor:

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Mindestlohn und Amazon

14. Januar 2014 1 Kommentar

Auf den ersten Blick haben die inzwischen beendete Diskussion um den Mindestlohn in Deutschland und die aktuelle Tarifauseinandersetzung bei Amazon nichts miteinander zu tun, auf den zweiten Blick vielleicht doch. Um das zu verstehen, muss man aber etwas weiter ausholen.

Früher, als die Menschen noch in kleinen Gruppen lebten, wurde Hilfe zumeist nur den eigenen Verwandten und einigen wenigen Nahestehenden geleistet. Die Goldene Regel als moralischer Kompass reichte dafür vollkommen aus: Man zog seine Kinder so auf, wie man selbst als Kind aufgezogen wurde, und man unterstützte seine Eltern in der Hoffnung, später selbst unterstützt zu werden. Mit immer komplexer werdenden Beziehungen von immer größeren Gruppen wurden auch diese eher privaten Formen der Unterstützung immer stärker institutionalisiert. Es ist sicher nicht nur so, dass die Gesellschaft sich das leistet, weil sie es kann, sondern Gesellschaften, die es tun, sind in jeder Hinsicht erfolgreicher. Auch das ist eine Form der produktivitätssteigernden Arbeitsteilung!

Da die Ressourcen aber immer begrenzt geblieben sind, gibt es neue und bisher noch nicht bekannte Konflikte: Wer soll wieviel abgeben und wer erhält wieviel davon? Eine allgemein gültige und immer gleich bleibende Antwort darauf gibt es nicht, da sich die Gesellschaft ständig verändert. Die Meinung eines Einzelnen ist nicht unbedingt „wahrer“ oder „falscher“ als die eines anderen, jeder hat aufgrund seiner Stellung in der Gesellschaft und seiner Erfahrungen eine andere Meinung. Die Vorstellungen, was gerecht ist, gehen weit auseinander. Kompromisse sind unabdingbar.
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